Ίδια και διαφορετικά ακέραια μέρη.

Συντονιστές: Φωτεινή, silouan

Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 18874
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Ίδια και διαφορετικά ακέραια μέρη.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou »

.
Πόσοι διαφορετικοί αριθμοί υπάρχουν μεταξύ των

\displaystyle{\left [ \dfrac {1^2}{100} \right ], \, \left [ \dfrac {2^2}{100}\right ], \, \left [ \dfrac {3^2}{100}\right ], \, ...\, ,\,\left [ \dfrac {99^2}{100}\right ], \, \left [ \dfrac {100^2}{100}\right ] \,};

(Το [.] δηλώνει ακέραιο μέρος.)

(Aς την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές μας.)

Ετικέτες:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 18874
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ίδια και διαφορετικά ακέραια μέρη.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou »

Ανοικτή σε όλους.
Άβαταρ μέλους
Dimessi
Δημοσιεύσεις: 579
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 10, 2023 3:48 pm

Re: Ίδια και διαφορετικά ακέραια μέρη.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Dimessi »

Θα εργαστούμε στους ακεραίους x=1,2,...,24.
Για x=1,2,...,9 είναι \displaystyle \left \lfloor \frac{x^{2}}{100}\right \rfloor =0.
Για \displaystyle x=10,11,...,14:\left \lfloor \frac{x^{2}}{100}\right \rfloor=1.
Για \displaystyle x=15,16,17:\left \lfloor \frac{x^{2}}{100}\right \rfloor =2.
Για \displaystyle x=18,19:\left \lfloor \frac{x^{2}}{100}\right \rfloor=3.
Για \displaystyle x=20,21,22:\left \lfloor \frac{x^{2}}{100}\right \rfloor=4.
Για \displaystyle x=23,24:\left \lfloor \frac{x^{2}}{100}\right \rfloor=5.
Όμως \displaystyle \left \lfloor \frac{\left ( 50-x \right )^{2}}{100}\right \rfloor=25-x+\left \lfloor \frac{x^{2}}{100}\right \rfloor,\forall x\in \left\{ 1,2,...,24\right\}. Έτσι για i=26,27,...,49 παράγουμε τα διαφορετικά ακέραια μέρη \displaystyle \left \lfloor \frac{i^{2}}{100}\right \rfloor=6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,...,24. Επίσης \displaystyle \left \lfloor \frac{25^{2}}{100}\right \rfloor=6,\left \lfloor \frac{50^{2}}{100}\right \rfloor=25, άρα για i=1,2,...,50 έχουμε παράξει τα διαφορετικά ακέραια μέρη \displaystyle \left \lfloor \frac{i^{2}}{100}\right \rfloor=0,1,2,...,25. Όμως \displaystyle \left \lfloor \frac{\left ( 100-x \right )^{2}}{100}\right \rfloor=100-2x+\left \lfloor \frac{x^{2}}{100}\right \rfloor,\forall x\in \left\{ 1,2,...,99\right\}. Έτσι για \displaystyle i=76,77,...,99, παράγουμε τα διαφορετικά ακέραια μέρη \displaystyle \left \lfloor \frac{i^{2}}{100}\right \rfloor=57,59,60,62,64,65,67,68,70,72,73,75,77,79,81,82,84,86,...,98. Όμως \displaystyle \left \lfloor \frac{\left ( 50+x \right )^{2}}{100}\right \rfloor=25+x+\left \lfloor \frac{x^{2}}{100}\right \rfloor,\forall x\in \left\{ 1,2,...,24\right\}, άρα για i=51,52,...,74, παράγουμε τα διαφορετικά ακέραια μέρη \displaystyle \left \lfloor \frac{i^{2}}{100}\right \rfloor=26,27,...,34,36,37,38,39,40,42,43,44,46,47,49,50,51,53,54. Επίσης \displaystyle \left \lfloor \frac{75^{2}}{100}\right \rfloor=50+\left \lfloor \frac{25^{2}}{100}\right \rfloor=56,\left \lfloor \frac{100^{2}}{100}\right \rfloor=100. Επομένως για \displaystyle i=51,...,100 παράξαμε ως διαφορετικά ακέραια μέρη όλους τους ακεραίους αριθμούς από 26 έως 100, εξαιρουμένων των 35,41,45,48,55,58,61,63,66,69,71,74,76,78,80,83,85,87,89,91,93,95,97,99, πλήθους 24. Άρα για i=1,2,...,100 παράξαμε ως διαφορετικά ακέραια μέρη όλους τους ακεραίους από 0 έως 100, εξαιρουμένων 24 από αυτούς. Οπότε παράξαμε συνολικά 101-24=77 διαφορετικά ακέραια μέρη.
Άβαταρ μέλους
Nikitas K.
Δημοσιεύσεις: 351
Εγγραφή: Δευ Νοέμ 06, 2023 6:01 pm
Τοποθεσία: Ρόδος

Re: Ίδια και διαφορετικά ακέραια μέρη.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nikitas K. »

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τρί Νοέμ 04, 2025 12:16 am .
Πόσοι διαφορετικοί αριθμοί υπάρχουν μεταξύ των

\displaystyle{\left [ \dfrac {1^2}{100} \right ], \, \left [ \dfrac {2^2}{100}\right ], \, \left [ \dfrac {3^2}{100}\right ], \, ...\, ,\,\left [ \dfrac {99^2}{100}\right ], \, \left [ \dfrac {100^2}{100}\right ] \,};

(Το [.] δηλώνει ακέραιο μέρος.)

(Aς την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές μας.)
Το παρακάτω πρόγραμμα είναι στην C.

Κώδικας: Επιλογή όλων

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

size_t differentElements(size_t n) {
if (n == 0)
    return 0;
    
size_t counter = 1;
unsigned short prev = 0; //Επειδή (1 * 1) / 100 δίνει 0

for (size_t i = 2; i <= n; i++) {
    unsigned short val = (i*i) / 100;  
    if (val > prev) {  
        counter++;  
        prev = val;  
    }  
}  
return counter;
}

int main() {
printf("In total there are %zu different elements.", differentElements(100));
return EXIT_SUCCESS;
}
Νικήτας Κακούλλης
«Μέτρον ἄριστον» Κλεόβουλος Εὐαγόρου Λίνδιος
Απάντηση

Επιστροφή στο “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης