Παραγοντοποίηση, εξίσωση και αριθμητική τιμή

Grosrouvre · #1

Αφού αρχικά παραγοντοποιηθεί η παράσταση

A = x(x+1)(x+2)(x+3) + 1

,

στη συνέχεια

α) να λυθεί (ως προς

) στο σύνολο των πραγματικών αριθμών η εξισωση

x(x+1)(x+2)(x+3) = m -1

,

β) να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

$\displaystyle{ B = \sqrt{(1.000.000)(1.000.001)(1.000.002)(1.000.003) +1}$ .

BAGGP93 · #2

Είναι,

$\displaystyle{\begin{aligned} A(x)&=x\,(x+1)\,(x+2)\,(x+3)+1\\&=(x^2+3\,x)\,(x^2+3\,x+2)+1\\&=(x^2+3\,x)^2+2\,(x^2+3\,x)+1\\&=\left(x^2+3\,x+1\right)^2\end{aligned}}$

α) Για το τυχόν $\displaystyle{m\in\mathbb{R}}$ , η εξίσωση που μας δίνεται, ισοδυναμεί με την

$\displaystyle{A(x)=m\,,x\in\mathbb{R}}$ . Έτσι, αν $\displaystyle{m<0}$ , τότε η εξίσωση είναι αδύνατη. Έστω $\displaystyle{m\geq 0}$ .

Τότε, για κάθε $\displaystyle{x\in\mathbb{R}}$ ισχύει

$\displaystyle{\begin{aligned} A(x)=m&\iff x^2+3\,x+1=\sqrt{m}\,\,\lor x^2+3\,x+1=-\sqrt{m}\\&\iff \left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2=\sqrt{m}+\dfrac{5}{4}\,\,\lor \left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{5-4\,\sqrt{m}}{4}\\&\iff x\in\left\{-\dfrac{3}{2}\pm \sqrt{\sqrt{m}+\dfrac{5}{4}}\right\}\,\,\lor x\in \begin{cases} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\varnothing\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,m>\dfrac{25}{16}\\ \left\{-\dfrac{3}{2}\pm \sqrt{\dfrac{5-4\,\sqrt{m}}{4}}\right\}\,\,\,,m\leq \dfrac{25}{16} \end{cases} \end{aligned}}$

β)

$\displaystyle{B=\sqrt{A(10^6)}=\sqrt{\left(10^{12}+3\,10^6+1\right)^2}=10^{12}+3\,10^6+1=10000030000001$

Παραγοντοποίηση, εξίσωση και αριθμητική τιμή

Παραγοντοποίηση, εξίσωση και αριθμητική τιμή

Re: Παραγοντοποίηση, εξίσωση και αριθμητική τιμή

Μέλη σε σύνδεση