Αριθμοί

[socrates]

Πόσοι ψηφιοι αριθμοί διαιρούνται με το , αποτελούνται μόνο από τα ψηφί και , και δεν έχουν συνεχόμενα ;

https://artofproblemsolving.com/communi ... 9p23262457

[vgreco]

Πόσοι ψηφιοι αριθμοί διαιρούνται με το , αποτελούνται μόνο από τα ψηφί και , και δεν έχουν συνεχόμενα ;

Αφού οι αριθμοί αυτοί διαιρούνται με τον , θα διαρούνται και με τον και με τον . Άρα:

• θα τελειώνουν σε .
• το άθροισμα των ψηφίων τους θα διαρείται με , δηλαδή , όπου το πλήθος των αριών. Επειδή , υποχρεωτικά .

Έτσι, κάθε αριθμός με την παραπάνω ιδιότητα περιέχει 4 φορές το ψηφίο και λήγει σε .

Μπορούμε να φτιάξουμε ψήφιους που περιέχουν φορές το ψηφίο .
Αρκεί τώρα να βρούμε πόσοι έχουν συνεχόμενα .

• Για την περίπτωση έχουμε πιθανούς τρόπους να τοποθετήσουμε το τρίτο .
• Για την περίπτωση έχουμε πιθανούς τρόπους.
• ...
• Για την περίπτωση έχουμε πιθανούς τρόπους.

Συνολικά, δηλαδή, τέτοιοι αριθμοί έχουν συνεχόμενα .

Επομένως, υπάρχουν αριθμοί με την ιδιότητα της εκφώνησης.