Πέντε αριθμοί, δέκα αθροίσματα, τρεις απαντήσεις

#1

Στον πίνακα είναι γραμμένοι πέντε φυσικοί αριθμοί, όχι κατ' ανάγκη διαφορετικοί μεταξύ τους. Κάποιος τους πρόσθεσε ανά ζεύγη (δέκα περιπτώσεις). Τα διαφορετικά αθροίσματα που βρήκε ήταν μόνο τρία, τα $57,\, 70,\,$ και

.
Ποιοι είναι οι πέντε αριθμοί;

#2

Αν όλοι ήταν διαφορετικοί μεταξύ τους, έστω οι a < b < c < d < e

τότε τα

είναι τέσσερα διαφορετικά αθροίσματα, άτοπο.

Άρα ένας αριθμός, έστω ο

εμφανίζεται τουλάχιστον δύο φορές. Τότε θα έχουμε το άθροισμα

και επειδή

φυσικός, πρέπει x=35

. Κάθε άλλος αριθμός που εμφανίζεται, αν προστεθεί στον

δίνει άθροισμα 57,70

ή

. Άρα μόνο οι 22,35,48

μπορούν να εμφανίζονται. Μάλιστα οι 22,48

δεν μπορούν να εμφανιστούν δύο φορές αφού τα 44,96

δεν υπάρχουν ως αθροίσματα. Επίσης και ο

και ο

πρέπει να εμφανιστούν αφού αλλιώς δεν θα είχαμε τα

και

ως αθροίσματα.

Άρα οι πέντε αριθμοί είναι οι 22, 35, 35, 35, 48

.

#3

Απειροελάχιστη παραλλαγή: Έστω ότι οι αριθμοί είναι οι $a\le b\le c\le d\le e$ . Αφού το μικρότερο άθροισμα είναι a+b

, θα είναι a+b=57

. Όμοια από το μεγαλύτερο άθροισμα έχουμε d+e=83

. Αφού ο

είναι μονός, θα είναι $a\ne b$ , και όμοια $d\ne e$ , οπότε έχουμε $a <b\le c\le d< e$ . Οι τρεις μεσαίοι πρέπει να είναι ίσοι μεταξύ τους γιατί αν, για παράδειγμα, c<d

τότε θα είχαμε

διαφορετικά αθροίσματα, τα a+b<a+d < a+e < d+e

. Όμοια οι άλλες περιπτώσεις. Tελικά έχουμε a<b= c= d <e

. Άρα $a+b=57, 2b=b+c=70 = c+d=2d, \, d+e=83$ , από όπου $a=22,\, b=c=d=35, \, e= 48$ .

Πέντε αριθμοί, δέκα αθροίσματα, τρεις απαντήσεις

Πέντε αριθμοί, δέκα αθροίσματα, τρεις απαντήσεις

Re: Πέντε αριθμοί, δέκα αθροίσματα, τρεις απαντήσεις

Re: Πέντε αριθμοί, δέκα αθροίσματα, τρεις απαντήσεις

Μέλη σε σύνδεση