J685 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Σας προτείνω το θέμα J685 από το πρώτο τεύχος των Reflections του 2025. H ημερομηνία υποβολής λύσεων παρήλθε.
Προτάθηκε από τον Adrian Andreescu, University of Texas at Dallas, USA.

Έστω

ένας μη μηδενικός πραγματικός αριθμός.

Αποδείξτε ότι

$\displaystyle a^{3}-\frac{1}{a^{3}}+a^{2}+\frac{1}{a^{2}}-3\left( a-\frac{1}{a} \right)=3$

αν και μόνον αν

$\displaystyle a^{5}-\frac{1}{a^{5}}-5\left( a^{3}-\frac{1}{a^{3}} \right)+11\left( a-\frac{1}{a} \right)=1$

Nikitas K. · #2

$u:= a-\dfrac{1}{a}$

$a^2+\dfrac{1}{a^2} = u^2 +2$

$a^3 - \dfrac{1}{a^3} = u(u^2+3)$

$a^4+\dfrac{1}{a^4} = u^2(u^2 + 4) + 2 \Rightarrow a^5-\dfrac{1}{a^5} = u (u^4 + 5u^2 + 5)$

Αντικαθιστώντας στις ισότητες τις παραπάνω σχέσεις αρκεί να δειχθεί ότι:

$u^2(u+1) = 1\Leftrightarrow u(u^4+1) = 1$

Ευθύ:
$u^2(u+1) = 1 \Rightarrow u^2(u-1)(u+1) = u-1\Leftrightarrow u^2(u^2-1)=u-1\Leftrightarrow u^4 - u^2 = u - 1$

$\Leftrightarrow u^4+1 = u^2 + u \Leftrightarrow u^4+1 =u(u+1)\Rightarrow u(u^4+1) = u^2(u+1)\Rightarrow u(u^4+1) = 1$

Αντίστροφο:
Αρκεί να δειχθεί ότι:

$u^5 + u - 1 = 0\Rightarrow u^3 + u ^ 2 - 1 = 0$

Πράγματι:

$(u^2 - u + 1) (u^3 + u^2 - 1) = u^5 + u - 1\Leftrightarrow (u^2 - u + 1) (u^3 + u^2 - 1) = 0$

Όμως $u^2 - u + 1 \neq 0$ διότι $\forall x\in\mathbb{R}~ x^2 -x + 1 > 0$ αφού $\Delta = -3 < 0$

Επομένως, λαμβάνουμε ότι u^3 + u^2 - 1 = 0

$\blacksquare$

J685 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

J685 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Re: J685 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Μέλη σε σύνδεση