Άνισες και ρητές ρίζες

KARKAR · #1

Δίνεται η εξίσωση : $\dfrac{2}{x+2}+\dfrac{3}{x+3}+\dfrac{4}{x+4}=\dfrac{m}{x+n} , m,n \in \{ 5 , 6 , 7 , 8 ,... \}$ .

α) Βρείτε την τιμή του

, για την οποία η εξίσωση έχει ακριβώς δύο ρίζες άνισες .

Με δεδομένο ότι το

είναι αυτό που βρήκατε στο α) :

β1) Υπάρχει τιμή του

, ώστε η εξίσωση να έχει και θετική ρίζα ;

β2) Υπάρχουν τιμές του

, τέτοιες ώστε οι ρίζες να είναι ρητές ;

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Μάιος 20, 2025 10:30 am Δίνεται η εξίσωση : $\dfrac{2}{x+2}+\dfrac{3}{x+3}+\dfrac{4}{x+4}=\dfrac{m}{x+n} , m,n \in \{ 5 , 6 , 7 , 8 ,... \}$ .

α) Βρείτε την τιμή του , για την οποία η εξίσωση έχει ακριβώς δύο ρίζες άνισες .

Με δεδομένο ότι το είναι αυτό που βρήκατε στο α) :

β1) Υπάρχει τιμή του , ώστε η εξίσωση να έχει και θετική ρίζα ;

β2) Υπάρχουν τιμές του , τέτοιες ώστε οι ρίζες να είναι ρητές ;

Καλησπέρα Θανάση. Δίνω μια λύση, όμως οι πράξεις είναι πολλές και υπάρχει η πιθανότητα κάποιας απροσεξίας.

(α) Μετά την απαλοιφή των παρονομαστών, βρίσκουμε

$\displaystyle{(9-m)x^3 +[9(n-m)+52]x^2 + 2(26n+36-13m)x +24(3n-m)=0}$ , (1)

Η πιο πάνω πολυωνυμική εξίσωση είναι τρίτου βαθμού, αν $\displaystyle{9-m\neq 0}$ , οπότε δεν είναι δυνατόν να έχει ακριβώς δύο ρίζες άνισες.

Άρα υποχρεωτικά θα πρέπει να είναι να είναι αρχικά , $\displaystyle{m=9}$ . Τότε η (1) γράφεται:

$\displaystyle{(9n-29)x^2 + 2(26n-81)x +24(3n-9)=0}$ , (2)

Η διακρίνουσα είναι $\displaystyle{D= 4(28n^2 -180n +297)$

Αφού $\displaystyle{n\geq 5}$ , έπεται άμεσα ότι $\displaystyle{D>0}$ και άρα η εξίσωση (2) έχει δύο ρίζες άνισες.

(β) Το γινόμενο των ριζών αυτής είναι $\displaystyle{p_1 .p_2 = \frac{24(3n-9)}{9n-29} >0}$ ,

αφού $\displaystyle{n\geq 5}$ , και το άθροισμα των ριζών είναι $\displaystyle{p_1 + p_2 = -\frac{2(26n-81)}{9n-29)} <0}$ , προφανώς.

Άρα οι ρίζες είναι ομόσημες και έχουν άθροισμα αρνητικό, συνεπώς είναι και οι δύο αρνητικές και άρα η (2) δεν έχει θετική ρίζα.

(γ) Η διακρίνουσα της εξίσωσης (2) , είναι:

$\displaystyle{D= 4(28n^2 - 180n +297)}$

Αρκεί να δούμε αν υπάρχουν τιμές του $\displaystyle{n}$ , ώστε η διακρίνουσα να είναι τέλειο τετράγωνο. Επειδή είναι $\displaystyle{n\geq 5}$ ,
δοκιμάζουμε και βρίσκουμε ότι για $\displaystyle{n=6}$ , είναι $\displaystyle{D=4 . 225 =30^2}$
Συνεπώς υπάρχουν τιμές του $\displaystyle{n}$ ώστε η (2) να έχει ρίζες ρητές.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ:

(α) Διόρθωσα μια απροσεξία στις πράξεις που μου επεσήμανε ο Θανάσης, για την απάντηση στο (γ) ερώτημα

(β) Η διακρίνουσα, φαίνεται να είναι τέλειο τετράγωνο και για άλλες τιμές του $\displaystyle{n}$ , αλλά δεν μπόρεσα να βρω τρόπο να υπολογίζονται
Δεν ξέρω Θανάση, αν έχεις λύση για την εύρεση όλων των άλλων τιμών (αν βέβαια υπάρχουν) του $\displaystyle{n}$ .
Στην προσπάθεια μου να δείξω ότι δεν υπάρχει άλλη τιμή για τον $\displaystyle{n}$ , δεν μπόρεσα να καταλήξω σε άτοπο, παρά τις πολλές προσπάθειες
που έκανα.

KARKAR · #3

Κάποιες σκέψεις για το ερώτημα β2) : Ας προσπαθήσουμε να βρούμε τιμές του

,

ώστε : $28n^2-180n+297=k^2 , k \in \mathbb{N}, k\geq 3$ .

Λύνοντας θα βρούμε : $n=\dfrac{45+\sqrt{7k^2-54}}{14}$ , συνεπώς ( με δοκιμές ) :

Για : n=6

, είναι :

και : $x=-\dfrac{12}{5} , x=-\dfrac{18}{5}$

Για : n=17

, είναι :

και : $x=-\dfrac{72}{31} , x=-\dfrac{7}{2}$

Για : n=48

, είναι :

και : $x=-\dfrac{30}{13} , x=-\dfrac{108}{31}$

Ίσως ( αλλά για άλλον φάκελο ) θα είχε ενδιαφέρον η αναζήτηση γενικότερης λύσης του ερωτήματος ...

Άνισες και ρητές ρίζες

Άνισες και ρητές ρίζες

Re: Άνισες και ρητές ρίζες

Re: Άνισες και ρητές ρίζες

Μέλη σε σύνδεση