Ανισότητα

mick7 · #1

Αν $0 < x \le 1$ και $y \ge 1$ , τότε

$x^{y} + y^{x} \le 1 + xy$

#2

mick7 έγραψε: Κυρ Φεβ 01, 2026 1:02 pm Αν $0 < x \le 1$ και $y \ge 1$ , τότε

$x^{y} + y^{x} \le 1 + xy$

.

.
Επειδή θα χρησιμοποιήσω Καρτεσιανές συντεταγμένες, θα άλλάξω το γράμμα

σε

. Έτσι, το αποδεικτέο είναι $x^{a} + a^{x} \le 1 + ax$ για $0 < x \le 1$ και $a \ge 1$ .

Έχουμε για τα

και

αυτά

α) $x^{a-1}\le 1^{a-1} =1$ , οπότε $x^{a}\le x$ .

β) Επειδή το γράφημα της a^x

είναι κάτω το τμήμα

όπου $A(0,1), \, B(1,a)$ του οποίου η ευθεία που το περιέχει είναι η y=(a-1)x+1

, ισχύει $a^x\le (a-1)x+1$

Aν τώρα προσθέσουμε κατά μέλη τις δύο αυτές ανισότητες έχουμε ακριβώς την ζητούμενη.