Λήμμα για συνευθειακά σημεία

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Λήμμα για συνευθειακά σημεία.png (12.32 KiB) Προβλήθηκε 1543 φορές

Έστω δύο ημιευθείες και και δύο σημεία και στο εσωτερικό της γωνίας . Αν το σημείο και οι προβολές των δύο σημείων πάνω στις ημιευθείες ορίζουν τμήματα με τον ίδιο λόγο, τότε τα σημεία , και είναι συνευθειακά.

[Mihalis_Lambrou]

Λήμμα για συνευθειακά σημεία.png

Έστω δύο ημιευθείες και και δύο σημεία και στο εσωτερικό της γωνίας . Αν το σημείο και οι προβολές των δύο σημείων πάνω στις ημιευθείες ορίζουν τμήματα με τον ίδιο λόγο, τότε τα σημεία , και είναι συνευθειακά.

Για να κλείνει, αν και περίμενα τους μαθητές μας να ανταποκριθούν στην ωραία αυτή ασκησούλα.

Δείχνω πρώτα το αντίστροφο: Δηλαδή έστω συνευθειακά. Τότε πραγματικά ισχύει γιατί και
τα δύο είναι ίσα με από ομοιότητα τριγώνων.

Για το ζητούμενο, έστω ότι ισχύει η . Αν η προέκταση της τέμνει την στο και αν η προβολή του στην , από το προηγούμενο έχουμε . Συγκρίνοντας με την έπεται , άρα τα , οπότε και τα , συμπίπτουν.

[vittasko]

Είναι ειδική περίπτωση του Θεωρήματος Αναλόγων Διαιρέσεων.

Τρία σημεία είναι συνευθειακά, εάν και μόνο εάν, οι παράλληλες προβολές τους επί δύο τεμνόμενων ευθειών, ορίζουν τμήματα με ίσους λόγους.

Δυνατό θεώρημα, από τα αγαπημένα μου. Αποδεικνύεται εύκολα με βάση το Θεώρημα Θαλή και το έχουμε ξαναδεί Eδώ.

Κώστας Βήττας.

[Mihalis_Lambrou]

Είναι ειδική περίπτωση του Θεωρήματος Αναλόγων Διαιρέσεων.

Τρία σημεία είναι συνευθειακά, εάν και μόνο εάν, οι παράλληλες προβολές τους επί δύο τεμνόμενων ευθειών, ορίζουν τμήματα με ίσους λόγους.

Δυνατό θεώρημα, από τα αγαπημένα μου. Αποδεικνύεται εύκολα με βάση το Θεώρημα Θαλή και το έχουμε ξαναδεί Eδώ.

Κώστας Βήττας.

Ωραιότατα. Δεν το θυμόμουνα.

Η απόδειξη που έκανα καλύπτει και αυτή την περίπτωση καθώς στο βήμα

"και τα δύο είναι ίσα με από ομοιότητα τριγώνων" χρειάζεται μόνο η παραλληλία (που στην ειδική περίπτωση έπεται από
την καθετότητα στην ίδια ευθεία).