Πάρτυ δευτερευόντων

KARKAR · #1

: Πάρτυ δευτερευόντων.png (12.74 KiB) Προβλήθηκε 749 φορές

Από σημείο

της διχοτόμου

, τριγώνου $\displaystyle ABC$ , φέρουμε : $SQ \perp AB$

και $ST \perp AC$ . Το τμήμα

τέμνει τη διάμεσο

στο σημείο

. Δείξτε

ότι το τμήμα

, είναι παράλληλο προς το ύψος

του τριγώνου .

Ορέστης Λιγνός · #2

Έστω

ο νότιος πόλος του $\vartriangle ABC$ .

Από τον ορισμό του νότιου πόλου, τα A,S,K

είναι συνευθειακά, και $KM \perp BC$ .

Φέρνουμε $KL \perp AB, KN \perp AC$ . Από το Θ. Simson, τα L,M,N

είναι συνευθειακά.

Είναι (χρησιμοποιούμε την προφανή εγγραψιμότητα των AQST, ALKN

) $\widehat{ATQ}=\widehat{ASQ}=\widehat{AKL}=\widehat{ANL} \Rightarrow \widehat{ATQ}=\widehat{ANL} \Rightarrow QT \parallel LN$ .

Ακόμη, $SQ \perp AL, KL \perp AL \Rightarrow QS \parallel LK \Rightarrow \dfrac{AS}{SK}=\dfrac{AQ}{QL}$ (1).

Αφού $QT \parallel LN$ , και L,M,N

συνευθειακά, είναι $QP \parallel LM \Rightarrow \dfrac{AQ}{QL}=\dfrac{AP}{PM}$ (2).

Από (1), (2), $\dfrac{AP}{PM}=\dfrac{AS}{SK} \Rightarrow PS \parallel MK \Rightarrow PS \perp BC \Rightarrow PS \parallel AE$ , και τελειώσαμε.

: KARKAR.png (36.94 KiB) Προβλήθηκε 724 φορές

#3

Πολύ ωραία λύση από τον εύστροφο Ορέστη .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: Τρί Μάιος 29, 2018 9:28 pm Πάρτυ δευτερευόντων.pngΑπό σημείο της διχοτόμου , τριγώνου $\displaystyle ABC$ , φέρουμε : $SQ \perp AB$

και $ST \perp AC$ . Το τμήμα τέμνει τη διάμεσο στο σημείο . Δείξτε

ότι το τμήμα , είναι παράλληλο προς το ύψος του τριγώνου .

Έστω ότι $\displaystyle K,L$ είναι οι ορθές προβολές του $\displaystyle P$ στις $\displaystyle AB$ , $\displaystyle AC$ αντίστοιχα.

Επειδή $\displaystyle x = y \Rightarrow \vartriangle KQP \simeq \vartriangle LPT \Rightarrow \frac{{KQ}}{{LT}} = \frac{{KP}}{{PL}}(1)$

Με $\displaystyle MN \bot AC$ και $\displaystyle MZ \bot AB \Rightarrow KP//MZ$ και $\displaystyle MN//PL$ ,άρα $\displaystyle \frac{{KP}}{{ZM}} = \frac{{PL}}{{MN}} = \frac{{AP}}{{AM}}(2)$

Από $\displaystyle (1)$ , $\displaystyle (2)$ έχουμε $\displaystyle \frac{{KQ}}{{LT}} = \frac{{ZM}}{{MN}}$

Αλλά $\displaystyle \left( {ABM} \right) = \left( {AMC} \right) \Rightarrow AB \cdot MZ = AC \cdot MN \Rightarrow \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{MZ}}{{MN}}$ κα τελικά $\displaystyle \boxed{\frac{{KQ}}{{AC}} = \frac{{TL}}{{AB}}}$

Έτσι,σύμφωνα με το θεώρημα Στάθη Κούτρα, $\displaystyle PS \bot BC \Rightarrow PS//AE$

: πάρτυ δευτερευόντων.png (37.31 KiB) Προβλήθηκε 708 φορές

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: Τρί Μάιος 29, 2018 9:28 pm Πάρτυ δευτερευόντων.pngΑπό σημείο της διχοτόμου , τριγώνου $\displaystyle ABC$ , φέρουμε : $SQ \perp AB$

και $ST \perp AC$ . Το τμήμα τέμνει τη διάμεσο στο σημείο . Δείξτε

ότι το τμήμα , είναι παράλληλο προς το ύψος του τριγώνου .

Αλλιώς..

H κάθετη στην $\displaystyle SP$ στο $\displaystyle P$ τέμνει την $\displaystyle AB$ στο $\displaystyle K$ και την $\displaystyle AC$ στο $\displaystyle L$

Λόγω των ίσων γωνιών $\displaystyle x,y$ και των εγγράψιμων $\displaystyle KPSQ,PSLT \Rightarrow \angle KSP = \angle LSP \Rightarrow KP = PL$

Έτσι $\displaystyle \frac{{BM}}{{MC}} = \frac{{KP}}{{PL}} = 1$ .Άρα $\displaystyle KL//BC \Rightarrow PS \bot BC \Rightarrow \boxed{PS//AE}$

: πάρτυ δευτερευόντων..png (20.44 KiB) Προβλήθηκε 686 φορές

Πάρτυ δευτερευόντων

Πάρτυ δευτερευόντων

Re: Πάρτυ δευτερευόντων

Re: Πάρτυ δευτερευόντων

Re: Πάρτυ δευτερευόντων

Re: Πάρτυ δευτερευόντων

Μέλη σε σύνδεση