Σταθερό εμβαδόν και βάλε

KARKAR · #1

: Σταθερό εμβαδόν και βάλε ....png (11.15 KiB) Προβλήθηκε 723 φορές

Σημείο

κινείται επί της διαμέτρου AB=2r

, ενός ημικυκλίου , πλησιέστερα προς το

. Υψώνω

το κάθετο προς τη διάμετρο , τμήμα

. Στην προέκταση της

εντοπίζουμε ( πώς ; ) σημείο

ώστε :

. Για ποια θέση του

( ή του

) , το τμήμα

εφάπτεται του ημικυκλίου ;

Υπόδειξη : Το πρόβλημα θεωρείται λυμένο , αν βρεθεί πολυωνυμική εξίσωση με άγνωστο κάποιο

από τα ζητούμενα μεγέθη . Η λύση , στην συνέχεια , μπορεί να δοθεί με χρήση λογισμικού .

#2

KARKAR έγραψε: Δευ Οκτ 19, 2020 1:44 pm Σταθερό εμβαδόν και βάλε ....pngΣημείο κινείται επί της διαμέτρου , ενός ημικυκλίου , πλησιέστερα προς το . Υψώνω

το κάθετο προς τη διάμετρο , τμήμα . Στην προέκταση της εντοπίζουμε ( πώς ; ) σημείο

ώστε : . Για ποια θέση του ( ή του ) , το τμήμα εφάπτεται του ημικυκλίου ;

Υπόδειξη : Το πρόβλημα θεωρείται λυμένο , αν βρεθεί πολυωνυμική εξίσωση με άγνωστο κάποιο

από τα ζητούμενα μεγέθη . Η λύση , στην συνέχεια , μπορεί να δοθεί με χρήση λογισμικού .

Με τους συμβολισμούς του σχήματος είναι $\displaystyle T{P^2} = x(2r - x),T{S^2} = y(y + 2r)$

: Σταθερό εμβαδόν και βάλε.png (12.96 KiB) Προβλήθηκε 654 φορές

Εύκολα οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες και από θεώρημα διχοτόμου, $\displaystyle \frac{{{x^2}}}{{{y^2}}} = \frac{{x(2r - x)}}{{y(y + 2r)}} \Leftrightarrow$ $\boxed{y = \frac{{rx}}{{r - x}}}$ (1)

$\displaystyle (TAS) = {r^2} \Leftrightarrow AS \cdot TP = 2{r^2} \Leftrightarrow (y + 2r)\sqrt {x(2r - x)} = 2{r^2}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} x{(2r - x)^3} = 4{r^2}{(r - x)^2}$

Μετά τις πράξεις καταλήγω στην εξίσωση $\boxed{{x^4} - 6r{x^3} + 16{r^2}{x^2} - 16{r^3}x + 4{r^4} = 0}$ απ' όπου με λογισμικό $\boxed{x \simeq 0,36771r}$

#3

Κατασκευή

: Σταθερό και βάλιε_κατασκευή του a.png (13.7 KiB) Προβλήθηκε 612 φορές

α) Στο

επί την

«υψώνω» κάθετο τμήμα AN = r

και θεωρώ σημείο του

. Θέτω

.

Η παράλληλη από το

προς την

τέμνει τον κύκλο εν γένει σε δύο σημεία και έστω

το πιο μακρινό από το

.

Επειδή απαιτώ : $2\left( {TAS} \right) = 2{r^2}$ αν BS = d

θα είναι : $AS \cdot TP = 2{r^2}$ , δηλαδή:

$\left( {2r + d} \right)u = 2{r^2} \Leftrightarrow \boxed{d = \frac{{2r\left( {r - u} \right)}}{u}} \Leftrightarrow \boxed{\frac{u}{{2r}} = \frac{{r - u}}{d}}\,\,\,\left( 1 \right)$

Και το

κατασκευάζεται σαν τετάρτη ανάλογος των τμημάτων : $u,\,\,2r,\,\,r - u$ .

β)

Αν τώρα επί πλέον η

εφάπτεται του ημικυκλίου πρέπει να εντοπίσουμε το

ή το

( προβολή του

στην

).

: Σταθερό και βάλιε_εντοπισμό.png (17.38 KiB) Προβλήθηκε 612 φορές

Θέτω $OP = k\,\,,\,\,0 < k < r$ . Από το ${k^2} = {r^2} - {u^2}\,\,\left( 2 \right)$ κι επειδή , $T{P^2} = OP \cdot PS$ θα έχω::

$T{P^2} = OP\left( {PB + BS} \right) \Rightarrow {u^2} = k\left( {r - k + d} \right) = kr - {k^2} + kd = k\left( {r + d} \right) - {k^2}$ και από την $\left( 2 \right)$ έχω: :

$k(r + d) = {r^2}\,\,\,\left( 3 \right)$ και αν θέσω $\boxed{u = rx\,\,\,,0 < x < 1}$ θα προκύψουν από τις $\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right)$ :
:
$\left\{ \begin{gathered} k = r\sqrt {1 - {x^2}} \hfill \\ r + d = r\frac{{2 - x}}{x} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ οπότε η $\left( 3 \right)$ δίδει $\sqrt {1 - {x^2}} \left( {2 - x} \right) = x$

και έχω μη ισοδύναμη εξίσωση : $f(x) = {x^4} - 4{x^3} + 4{x^2} + 4x - 4 = 0\,\,,0 \leqslant x \leqslant 1$

Η συνάρτηση : $f(x) = {x^4} - 4{x^3} + 4{x^2} + 4x - 4 = 0\,\,,0 \leqslant x \leqslant 1$

είναι συνεχής και $f(0) \cdot f(1) = - 4 < 0$ συνεπώς , Θ Bolzano

, έχει στο $\left( {0,1} \right)$

τουλάχιστο μια ρίζα . Επειδή η

γνήσια αύξουσα στο $[0, + \infty )$ η ρίζα είναι

μοναδική και με τη βοήθεια λογισμικού : $\boxed{{x_0} = 0,7747295739}$ και άρα $\boxed{{u_0} = {x_0}r}$ .

KARKAR · #4

: Σταθερό εμβαδόν και βάλε .....png (13.3 KiB) Προβλήθηκε 583 φορές

Για ευκολία θεωρώ , χωρίς βλάβη , ότι : r=1

. Για το

, έχω :

(1) ,

(2)

και ( από εμβαδόν ) : $TP=\dfrac{2}{x+2}\Rightarrow TP^2=\dfrac{4}{(x+2)^2}$ (3) .

Οι (1) , (2) , δίνουν : $y=\dfrac{1}{x+1}$ και με αντικατάσταση στην τρίτη και πράξεις , παίρνω :

x^4+6x^3+8x^2-4=0

, η οποία ( με χρήση λογισμικού ) δίνει : $x\simeq 0.58155$

Σταθερό εμβαδόν και βάλε

Σταθερό εμβαδόν και βάλε

Re: Σταθερό εμβαδόν και βάλε

Re: Σταθερό εμβαδόν και βάλε

Re: Σταθερό εμβαδόν και βάλε

Μέλη σε σύνδεση