Απολαυστική ισότητα

KARKAR · #1

: Απολαυστική ισότητα.png (15.8 KiB) Προβλήθηκε 623 φορές

Εξηγήστε γιατί οι γωνίες $\phi$ και $\theta$ στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος είναι ίσες .

STOPJOHN · #2

KARKAR έγραψε: Δευ Νοέμ 03, 2025 12:27 pm Απολαυστική ισότητα.pngΕξηγήστε γιατί οι γωνίες $\phi$ και $\theta$ στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος είναι ίσες .

Έστω

τότε το τετράπλευρο ASCT

είναι παραλληλόγραμμο και $\hat{SAC}=\hat{ACT}=\hat{ABM}$

και το τετράπλευρο ABCT

είναι εγγράψιμο άρα $\hat{CAT}=\hat{TBC}$

#3

KARKAR έγραψε: Δευ Νοέμ 03, 2025 12:27 pm Απολαυστική ισότητα.pngΕξηγήστε γιατί οι γωνίες $\phi$ και $\theta$ στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος είναι ίσες .

: Απολαυστική ισότητα.png (25.48 KiB) Προβλήθηκε 590 φορές

Κάτι παρόμοιο χωρίς λόγια .

Dimessi · #4

Από το θεώρημα προβολών $MA^2=MS\cdot MB(=MC^2),$ άρα

εφάπτεται στον κύκλο (SBC).

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: Δευ Νοέμ 03, 2025 12:27 pm Απολαυστική ισότητα.pngΕξηγήστε γιατί οι γωνίες $\phi$ και $\theta$ στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος είναι ίσες .

Από CEVA έχουμε εύκολα $\dfrac{BQ}{QA}= \dfrac{BP}{PC} \Rightarrow PQ//AC \Rightarrow PQ \bot AB \Rightarrow BQSP$

εγγράψιμμο και όλες οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες

: Απολαυστική ισότητα.png (18.93 KiB) Προβλήθηκε 544 φορές

#6

KARKAR έγραψε: Δευ Νοέμ 03, 2025 12:27 pm Εξηγήστε γιατί οι γωνίες $\phi$ και $\theta$ στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος είναι ίσες .

.

: Απολαυστ.png (20.16 KiB) Προβλήθηκε 517 φορές

.
Στην προέκταση της

παίρνουμε

, οπότε το ABCD

είναι παραλληλόγραμμο με $AB\parallel CD$ . Έπεται ότι οι τρεις γωνίες

είναι ίσες και ειδικά το ASCD

είναι εγγράψιμο. Έπεται τώρα ότι οι τρεις γωνίες

είναι ίσες, που δείχνει το ζητούμενο.

#7

Καλησπέρα σε όλους. Μετά τις κομψές γεωμετρικές προσεγγίσεις, ελπίζω να μην θεωρηθεί ύβρις μια τεχνική προσέγγιση, από τη σκοπιά των οπαδών του Καρτέσιου.

: Απολαυστική ισότητα.png (15.8 KiB) Προβλήθηκε 490 φορές

Έστω

.

$\displaystyle A(0,0),M(1,0),C(2,0),B(0,a),a > 0$ .

$\displaystyle {\lambda _{BM}} = \frac{a}{{ - 1}} = - a\; \Rightarrow BM:y = - ax + a$

Είναι $AS \bot BM$ άρα $\displaystyle {\lambda _{AS}} = \frac{1}{a} \Rightarrow AS:y = \frac{1}{a}x$

Λύνοντας το σύστημα $\displaystyle BM, AS$ έχουμε $\displaystyle S\left( {\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + 1}},\frac{a}{{{a^2} + 1}}} \right)$

οπότε $\displaystyle \sigma \upsilon \nu \varphi = \frac{{\overrightarrow {BM} \cdot \overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {BM} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} = \frac{{2 + {a^2}}}{{\sqrt {1 + {a^2}} \cdot \sqrt {4 + {a^2}} }}$

και $\displaystyle \sigma \upsilon \nu \theta = \frac{{\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CS} }}{{\left| {\overrightarrow {CA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CS} } \right|}} = \frac{{{a^2} + 2}}{{\sqrt {\left( {{a^2} + 4} \right)\left( {{a^2} + 1} \right)} }}$

Αφού οι γωνίες είναι οξείες, θα είναι ίσες.

#8

KARKAR έγραψε: Δευ Νοέμ 03, 2025 12:27 pm Απολαυστική ισότητα.pngΕξηγήστε γιατί οι γωνίες $\phi$ και $\theta$ στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος είναι ίσες .

Γράφω τον κύκλο διαμέτρου

κι έστω

το κέντρο του και

το άλλο σημείο τομής με την

.

Επειδή $OA = OT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MA = MT$ θα είναι το τετράπλευρο ASTB

εγγράψιμο κι αρμονικό και το OAMT

εγγράψιμο διαμέτρου,

.

: Απολαυστική ισότητα_ok.png (23.13 KiB) Προβλήθηκε 449 φορές

Επειδή , $\widehat {a_2^{}} = \widehat {a_3^{}}$ (οξείες με πλευρές κάθετες) και $\widehat {a_3^{}} = \widehat {a_4^{}}$ ( εξωτερική εγγεγραμμένου τετράπλευρου), θα είναι . $\widehat {a_2^{}} = \widehat {a_4^{}}$ .

Συνεπώς το τετράπλευρο MCTS

είναι εγγράψιμο . Έτσι , $\widehat {\theta _{}^{}} = \widehat {\omega _{}^{}} = \widehat {\phi _{}^{}}$ ( χορδής κι εφαπτομένης ).

Απολαυστική ισότητα

Απολαυστική ισότητα

Re: Απολαυστική ισότητα

Re: Απολαυστική ισότητα

Re: Απολαυστική ισότητα

Re: Απολαυστική ισότητα

Re: Απολαυστική ισότητα

Re: Απολαυστική ισότητα

Re: Απολαυστική ισότητα

Μέλη σε σύνδεση