Όσο πιο κοντά γίνεται

KARKAR · #1

: Όσο πιο κοντά γίνεται.png (8.2 KiB) Προβλήθηκε 90 φορές

Το ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, έχει κάθετες πλευρές AB=8 , AC=6

. Στην υποτείνουσα

, κινείται σημείο

, του οποίου την προβολή στην

, ονομάζουμε

. Η διχοτόμος

της γωνίας $\widehat{AST}$ , τέμνει την προέκταση της

στο σημείο

. Υπολογίστε το

(AP)_{min}

.

kfd · #2

Το τρίγωνο ΑSΡ ισοσκελές, άρα όταν το ΑΡ γίνεται min γίνεται και το ΑS. Οι συντ/νες του S είναι

x_{0},\frac{3x_{0}}{4}+6

με

-8\leq x_{0}\leq 0

και το

SA^{2}=\frac{25x_{0}^{2}}{16}+9x_{0}+36

, που γίνεται min όταν

x_{0}=-\frac{72}{25}

με min τιμή

\frac{576}{25}

και ζητούμενο ελάχιστο το $\frac{24}{5}$ .

#3

KARKAR έγραψε: Τρί Ιούλ 14, 2026 9:37 am Όσο πιο κοντά γίνεται.png Το ορθογώνιο τρίγωνο , έχει κάθετες πλευρές . Στην υποτείνουσα

, κινείται σημείο , του οποίου την προβολή στην , ονομάζουμε . Η διχοτόμος

της γωνίας $\widehat{AST}$ , τέμνει την προέκταση της στο σημείο . Υπολογίστε το $(AP)_{min}$ .

Θέτω

κι επειδή

θα είναι

\dfrac{{ST}}{8} = \dfrac{x}{{10}} = \dfrac{{CT}}{6} \Rightarrow ST = \dfrac{{4x}}{5},CT = \dfrac{{3x}}{5}

και

TA=\dfrac{30-3x}{5}

: Όσο πιο κοντά γίνεται.Κ2.png (11.45 KiB) Προβλήθηκε 53 φορές

Π.Θ στο

STA,

A{P^2} = A{S^2} =ST^2+AT^2= \dfrac{{5{x^2} - 36x + 180}}{5},

που ως τριώνυμο παρουσιάζει

ελάχιστο όταν $\boxed{x=\frac{18}{5}}$ και είναι

\boxed{AP_{\rm min}=\frac{24}{5}}

Όσο πιο κοντά γίνεται

Όσο πιο κοντά γίνεται

Re: Όσο πιο κοντά γίνεται

Re: Όσο πιο κοντά γίνεται

Μέλη σε σύνδεση