Απαιτητική ισεμβαδικότητα

KARKAR · #1

: Απαιτητική ισεμβαδικότητα.png (5.43 KiB) Προβλήθηκε 179 φορές

Το τρίγωνο ABC

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές . Στις κάθετες πλευρές AB=AC=a

, θεωρούμε

σημεία P , S

αντίστοιχα , τέτοια ώστε : AP=2AS

. Οι προεκτάσεις των

CB , SP

, τέμνονται στο

.

Βρείτε την θέση του

, για την οποία τα τρίγωνα SAP

και

είναι ισεμβαδικά .

Ιστοσελίδα · #2

KARKAR έγραψε: Σάβ Ιούλ 11, 2026 6:20 pm Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές . Στις κάθετες πλευρές , θεωρούμε

σημεία αντίστοιχα , τέτοια ώστε : . Οι προεκτάσεις των $CB , SP$ , τέμνονται στο .

Βρείτε την θέση του , για την οποία τα τρίγωνα και είναι ισεμβαδικά .

: sol.jpg (49.3 KiB) Προβλήθηκε 175 φορές

#3

KARKAR έγραψε: Σάβ Ιούλ 11, 2026 6:20 pm Απαιτητική ισεμβαδικότητα.pngΤο τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές . Στις κάθετες πλευρές , θεωρούμε

σημεία αντίστοιχα , τέτοια ώστε : . Οι προεκτάσεις των $CB , SP$ , τέμνονται στο .

Βρείτε την θέση του , για την οποία τα τρίγωνα και είναι ισεμβαδικά .

: απαιτ.png (14.33 KiB) Προβλήθηκε 171 φορές

.
Θα το κάνω με Αναλυτική Γεωμετρία, αλλά μπορούμε πολύ εύκολα να προσαρμόσουμε την λύση να γίνει με Ευκλείδεια μέσα (όμοια τρίγωνα).

Με αρχή των αξόνων το A(0,0)

είναι χωρίς βλάβη B(1,0), C(0,1)

. Θέτουμε

, οπότε

P(2a,0)

. Η

είναι η

y=-\dfrac {1}{2} (x-a)

και η

είναι η

.

Λύνοντας θα βρούμε ότι το κοινό τους σημείο είναι το

T(2-2a,2a-1)

και άρα η ισότητα

(SAP)= (PBT)

γίνεται

\dfrac {1}{2}AS\cdot AP=\dfrac {1}{2}PB\cdot TD

, ισοδύναμα

\dfrac {1}{2} a\cdot 2a= \dfrac {1}{2} (1-2a)\cdot (1-2a)

Άρα

a= \dfrac {2-\sqrt 2}{2}

, οπότε

\boxed { P(2-\sqrt 2,\,0) }

Edit. Mε πρόλαβε ο Μιχάλης. Το αφήνω λόγω των διαφορών.

p_gianno · #4

μέσο του

. Τότε

\triangle SMP \sim \triangle TBP

Ουσιαστικά θέλουμε

\left ( PBT \right )=2\left ( SMP \right )

ή ισοδύναμα

PB=MP\sqrt{2}=\sqrt{2} χ

Είναι

AM+MP+PB=a

ή

χ+χ+\sqrt{2} χ =a

ή

\left ( 1+1+\sqrt{2} \right )\chi=a

ή

\chi =a\div \left ( 2+\sqrt{2} \right )

#5

KARKAR έγραψε: Σάβ Ιούλ 11, 2026 6:20 pm Απαιτητική ισεμβαδικότητα.pngΤο τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές . Στις κάθετες πλευρές , θεωρούμε

σημεία αντίστοιχα , τέτοια ώστε : . Οι προεκτάσεις των $CB , SP$ , τέμνονται στο .

Βρείτε την θέση του , για την οποία τα τρίγωνα και είναι ισεμβαδικά .

Ας είναι λυμένο το πρόβλημα . Τότε αναγκαστικά

SB//AT

( αφού

\left( {SAT} \right) = \left( {BAT} \right)

)

Έστω

η προβολή του

στην

. Θέτω

AS = k\,\,,\,\,DT = h

, θα είναι

AP = 2k\,\,,\,\,SC = a - k\,\,,\,\,BT = h\sqrt 2

. Από την παραλληλία ,

SB//AT\,\,\,

έχω :

: Απαιτητική ισεμβαδικότητα_Αλλιώς.png (16.02 KiB) Προβλήθηκε 70 φορές

\dfrac{{SC}}{{SA}} = \dfrac{{BC}}{{BT}}\,\, \Rightarrow \dfrac{{a - k}}{k} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{h\sqrt 2 }} = \dfrac{a}{h}\,\,\,\left( 1 \right)

, ενώ στα όμοια

\vartriangle SAP\,\,,\,\,\vartriangle TDP

η μεγάλη κάθετη πλευρά είναι διπλάσια της μικρής .

Δηλαδή,

PD = 2DT\,\,\,

με άμεση συνέπεια :

PB = BD = DT = h\,\,,\,\,BT = h\sqrt 2

,

h = a - 2k\,\,\left( 2 \right)

Από τις

\left( 1 \right)\,\,\,,\,\,\left( 2 \right)

διαγράφω το

και προκύπτει :

\boxed{k = a(1 - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2})}

.

( και με την προϋπόθεση το

να είναι ανάμεσα στα

C\,\,\,,\,\,A

)

Απαιτητική ισεμβαδικότητα

Απαιτητική ισεμβαδικότητα

Re: Απαιτητική ισεμβαδικότητα

Re: Απαιτητική ισεμβαδικότητα

Re: Απαιτητική ισεμβαδικότητα

Re: Απαιτητική ισεμβαδικότητα

Μέλη σε σύνδεση