Λόγος - έκπληξη

[KARKAR]

Λόγος - έκπληξη.png (6 KiB) Προβλήθηκε 108 φορές

Στο - - ορθογώνιο , η κάθετη της διαγωνίου στο άκρο της , τέμνει

τις προεκτάσεις των στα σημεία αντίστοιχα . Υπολογίστε τον λόγο : .

[Mihalis_Lambrou]

Λόγος - έκπληξη.pngΣτο - - ορθογώνιο , η κάθετη της διαγωνίου στο άκρο της , τέμνει

τις προεκτάσεις των στα σημεία αντίστοιχα . Υπολογίστε τον λόγο : .

Λόγος εκ.png (9.48 KiB) Προβλήθηκε 91 φορές

.
Από το ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε και από το έχουμε

Με διαίρεση κατά μέλη είναι οπότε ο ζητούμενος λόγος είναι

Υπόψη ότι το αποτέλεσμα αυτό, για ήταν γνωστό στον Πλάτωνα σε συνάφεια με το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου.

[kkala]

Με αναφορά στο σχήμα της προηγούμενης ανάρτησης:
Από τα όμοια τρίγωνα CBS και ACB : x/b=b/a, άρα x=b^2/a (1)
(Οι γωνίες S και ACB είναι ίσες, διότι είναι οξείες και έχουν τις πλευρές καθέτους, μία προς μια).
Ομοίως από τα όμοια τρίγωνα PDC και ACB: y/a=a/b, άρα y=a^2/b (2)
Από τα (1) και (2) BS/DP=x/y=b^3/a^3
Εκπληξη διότι ο λόγος δύο ευθυγραμμων τμημάτων είναι λόγος όγκων δύο κύβων.
Σημείωση: Αυτά προκύπτουν και με τριγωνομετρία: x=bctS, y=atanS, tanS=a/b