Το τμήμα που συνδέει τα μέσα

KARKAR · #1

: Το τμήμα που συνδέει τα μέσα.png (7.14 KiB) Προβλήθηκε 967 φορές

Με διαμέτρους τα άνισα διαδοχικά τμήματα AB=a

και

, γράφουμε ημικύκλια , των οποίων

τα μέσα ονομάζω M , N

. Αν

είναι τα μέσα των MN , AC

αντίστοιχα , υπολογίστε το τμήμα

.

cool geometry · #2

abfx · #3

Θεωρούμε $O_{1},O_{2}$ τα κέντρα των δύο ημικυκλίων και

την προβολή του

στην

.

Από το τραπέζιο $MNO_{2}O_{1}$ έχουμε ότι $O_{1}P=O_{2}P=\frac{a+b}{4}$ .

Έτσι έχουμε $TP=AO_{1}+O_{1}P-AT=\frac{a}{2}+\frac{a+b}{4}-\frac{a+b}{2}=\frac{a-b}{4}$ και

$PB=O_{1}B-O_{1}P=\frac{a}{2}-\frac{a+b}{4}=\frac{a-b}{4}$ επομένως TP=PB

και άρα

(1) .

Συγκρίνουμε τώρα τα ορθογώνια τρίγωνα $MO_{1}T$ και $NO_{2}T$ .

Εύκολα βλέπουμε ότι $MO_{1}=TO_{2}=\frac{a}{2}$ και

$TO_{1}=MO_{2}=\frac{b}{2}$ , οπότε προκύπτει ότι τα τρίγωνα είναι ίσα.

Έτσι προκύπτει ότι το τρίγωνο MNT

είναι ορθογώνιο ισοσκελές και άρα

ST=SM=SN

και από (1) ίσα και με

.

Στο ορθογώνιο τρίγωνο MBN

με εφαρμογή Πυθαγορείου έχουμε $MN=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$ , οπότε

$ST=\frac{MN}{2}=\frac{\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}}{2}$ .

abfx · #4

Μία ενδιαφέρουσα (γνωστή νομίζω) γενίκευση του παραπάνω είναι η εξής:

Έστω τρίγωνο ABC

και ημικύκλια εξωτερικά των πλευρών

και

.

Έστω επίσης M,N

τα μέσα των ημικυκλίων ,

το μέσον του

και

το μέσον του

.

Να υπολογισθεί το τμήμα

ως συνάρτηση των $AB=c,BC=a,\hat{B}=\theta ^{o}$ .

Το τμήμα που συνδέει τα μέσα

Το τμήμα που συνδέει τα μέσα

Re: Το τμήμα που συνδέει τα μέσα

Re: Το τμήμα που συνδέει τα μέσα

Re: Το τμήμα που συνδέει τα μέσα

Μέλη σε σύνδεση