Οξεία ισότητα

KARKAR · #1

: Οξεία ισότητα.png (24.3 KiB) Προβλήθηκε 859 φορές

Η διχοτόμος

του σκαληνού τριγώνου ABC

, τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου

στο σημείο

. Αν :

, είναι δυνατόν η γωνία $\hat{A}$ να είναι ορθή ή αμβλεία ;

#2

KARKAR έγραψε: Δευ Δεκ 16, 2024 8:31 pm Η διχοτόμος του σκαληνού τριγώνου , τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου

στο σημείο . Αν : , είναι δυνατόν η γωνία $\hat{A}$ να είναι ορθή ή αμβλεία ;

Αν η

είναι αμβλεία τότε η πλευρά

είναι "πάνω" από το κέντρο του κύκλου. Φέρνουμε τώρα την κάθετο

προς την πλευρά

και την μεσοκάθετο

της

. Υπόψη ότι η διχοτόμος διέρχεται από το

καθώς το σημείο αυτό είναι το μέσον του μείζονος τόξου

.

Έχουμε τώρα $AF \le EG <EK =KS <SG$ . Άρα από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα AFD, SGD

έπεται

.

Συνεπώς στα αμβλυγώνια τρίγωνα αποκλείεται να είναι AD=DS

.

Στα ορθογώνια τρίγωνα ενδέχεται να ισχύει η ισότητα. Π.χ. τέτοια είναι η περίπτωση του ισοσκελους ορθογωνίου τριγώνου (σε αυτή την περίπτωση η κορυφή

είναι στο

). Από τις παραπάνω ανισότητες, αυτή είναι και η μόνη περίπτωση ορθογωνίου όπου ισχύει η εν λόγω ισότητα.

STOPJOHN · #3

KARKAR έγραψε: Δευ Δεκ 16, 2024 8:31 pm Οξεία ισότητα.pngΗ διχοτόμος του σκαληνού τριγώνου , τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου

στο σημείο . Αν : , είναι δυνατόν η γωνία $\hat{A}$ να είναι ορθή ή αμβλεία ;

Aπο τις τεμνόμενες χορδές $AS,BC,BD.DC=AD^{2},(1)$

Από το θεώρημα της διχοτόμου στο τρίγωνο $BD.DC=\dfrac{a^{2}cb}{(c+b)^{2}},(2)$

$AD^{2}=b.c.\dfrac{(b+c)^{2}}{(b+c)^{2}},$ ,(3)

$(1),(2),(3)\Rightarrow b+c=a\sqrt{2}$

Ο νόμος συνημιτόνου στο τρίγωνο ABC

λόγω της τελευταίας σχέσης δίνει

$\dfrac{(b-c)^{2}}{4cb}=cosA$ και με γωνία $\hat{A}> 90^{0}$ είναι αδύνατο .

Οξεία ισότητα

Οξεία ισότητα

Re: Οξεία ισότητα

Re: Οξεία ισότητα

Μέλη σε σύνδεση