Ερωτηματικός μέσος

KARKAR · #1

: Ερωτηματικός μέσος.png (7.09 KiB) Προβλήθηκε 824 φορές

Στο τρίγωνο ABC

, με :

, η μεσοκάθετος της

τέμνει την

στο

και την

προέκταση της

στο

. Το ύψος

είναι μεγαλύτερο του

αλλά μικρότερο του

.

Υπάρχει περίπτωση το τμήμα

να είναι ο γεωμετρικός μέσος των τμημάτων SM , TM

;

#2

KARKAR έγραψε: Σάβ Ιούλ 05, 2025 1:56 pm Ερωτηματικός μέσος.pngΣτο τρίγωνο , με : , η μεσοκάθετος της τέμνει την στο και την

προέκταση της στο . Το ύψος είναι μεγαλύτερο του αλλά μικρότερο του .

Υπάρχει περίπτωση το τμήμα να είναι ο γεωμετρικός μέσος των τμημάτων ;

.
Απάντηση: Δεν υπάρχει περίπτωση.

Θέτουμε για τυπογραφική ευκολία $AD=h, \, BD=p, \, DC=q$ , όπου βέβαια p+q=a

με $p< \dfrac {a}{2} <q$ . Ειδικά, $p\ne q$ και άρα $2\sqrt {pq} < p+q$

Από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα BAD, BTM

έχουμε $\dfrac {h}{p}= \dfrac {TM}{a/2}$ , οπότε $TM= \dfrac {ah}{2p}$ . Όμοια $SM= \dfrac {ah}{2q}$ . Άρα για τον γεωμετρικό μέσο έχουμε

$\sqrt {TM\cdot SM} = \sqrt { \dfrac {ah}{2p}\cdot \dfrac {ah}{2q} }= \dfrac {ah}{2\sqrt {pq}} > \dfrac {ah}{p+q} = \dfrac {ah}{a} =h = AD$ (πάντως όχι ίσα).
.

#3

Ας την δούμε και με Αναλυτική Γεωμετρία:

Με αρχή των αξόνων το

είναι $B(-2b,0),\, C(2c,0)$ όπου 0<b<c

και

. Oι ευθείες AB, AC

είναι οι $y=\dfrac {a}{b}(x+2b), \, y=-\dfrac {a}{c}(x-2c)$ , οπότε η τομή τους με την x=c-b

δίνoυν τις τεταγμένες των T,S

. Συγκεκριμένα, θα βρούμε $TM= \dfrac {a}{b}(b+c), \, SM =\dfrac {a}{b}(b+c)$ . Άρα

$\sqrt {TM\cdot SM}= \sqrt { \dfrac {a}{b}(b+c)\cdot \dfrac {a}{b}(b+c)} =\dfrac {a}{\sqrt {bc}}(b+c)> \dfrac {a}{\sqrt {bc}}(2\sqrt {bc})=2a=AD$ , πάντως όχι ίσα.
.

Ερωτηματικός μέσος

Ερωτηματικός μέσος

Re: Ερωτηματικός μέσος

Re: Ερωτηματικός μέσος

Μέλη σε σύνδεση