Ορθότητα και ισότητα

KARKAR · #1

: Ορθότητα και ισότητα.png (7.56 KiB) Προβλήθηκε 117 φορές

Από σημείο

εσωτερικό οξείας γωνίας $\hat{O}$ , να αχθούν δύο κάθετες μεταξύ τους ευθείες , οι οποίες

να τέμνουν τις δύο πλευρές της γωνίας στα σημεία A , B

, έτσι ώστε να είναι :

\widehat{OAS}=\widehat{OBS}

.

#2

KARKAR έγραψε: Κυρ Αύγ 16, 2026 5:20 pm Ορθότητα και ισότητα.pngΑπό σημείο εσωτερικό οξείας γωνίας $\hat{O}$ , να αχθούν δύο κάθετες μεταξύ τους ευθείες , οι οποίες

να τέμνουν τις δύο πλευρές της γωνίας στα σημεία , έτσι ώστε να είναι : $\widehat{OAS}=\widehat{OBS}$ .

: Ορθότ.png (12.51 KiB) Προβλήθηκε 86 φορές

.
Από το

φέρνουμε την

έτσι ώστε

\theta = \widehat {OAS} = 45 - \dfrac {1}{2}\widehat {AOB}

. Όμοια φέρνουμε την

έτσι ώστε

\phi = \widehat {OBS} = 45 - \dfrac {1}{2}\widehat {AOB}

, δηλαδή $\theta = \phi$ .

Αφού οι γωνίες του OBSA

έχουν άθροισμα 360^o

, έπεται ότι για την αμβλεία

\widehat {BSA}

(ας την πούμε $\omega$ ), έχουμε

360=\widehat {AOB} + \widehat {\phi} + \widehat {\omega} +\widehat {\theta} =\widehat {AOB} +\left (45 - \dfrac {1}{2}\widehat {AOB}\right ) + \widehat {\omega} +\left ( 45 - \dfrac {1}{2}\widehat {AOB}\right ) = 90 + \widehat {\omega}

.

Άρα

\widehat {\omega}=270 ^o

, οπότε $SA \perp SB$ , όπως θέλαμε.

Edit. Έκανα διόρθωση σε προηγούμενη εσφαλμένη μου λύση. Ευχαριστώ τον φίλο Κώστα Δόρτσιο που μου επεσήμανε σφάλμα μου. Είχα διαβάσει λάθος την εκφώνηση,

#3

KARKAR έγραψε: Κυρ Αύγ 16, 2026 5:20 pm Ορθότητα και ισότητα.pngΑπό σημείο εσωτερικό οξείας γωνίας $\hat{O}$ , να αχθούν δύο κάθετες μεταξύ τους ευθείες , οι οποίες

να τέμνουν τις δύο πλευρές της γωνίας στα σημεία , έτσι ώστε να είναι : $\widehat{OAS}=\widehat{OBS}$ .

Έστω λυμένο το πρόβλημα , δηλαδή

\phi = \theta \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {ASB} = 90^\circ

. Γράφουμε τον κύκλο , (S,A,B)

και

τέμνει ακόμα την

στο

, αναγκαστικά

BT \bot OA

επί πλέον ,

\phi = \omega

( βαίνουν στο ίδιο τόξο )

: Ορθότητα και ισότητα.png (20.93 KiB) Προβλήθηκε 65 φορές

Έτσι

\theta = \omega = \phi

. Επειδή

\xi + \theta + \omega = 90^\circ \Rightarrow \xi + 2\theta = 90^\circ \Rightarrow \boxed{\phi = \theta = \omega = 45^\circ - \frac{\xi }{2}}

Κατασκευή με βάση τα παραπάνω .

Θεωρούμε την οξεία γωνία,

\widehat {{O^{}}}

και κρύβουμε το δεδομένο εσωτερικό σημείο

.

Στη συνέχεια από τυχαίο σημείο

( π.χ. της «βόρειας» πλευράς») θεωρούμε την προβολή

στην άλλη πλευρά ,
.

: Ορθότητα_KARKAR_1.png (16.42 KiB) Προβλήθηκε 39 φορές

.
Σε τυχαίο σημείο

της διχοτόμου της

\widehat {OB'T'}

φέρνουμε κάθετη που τέμνει την OT'

στο

.

Έχουμε μια από τις άπειρες περιπτώσεις με τις πράσινες γωνίες ίσες και

A'S' \bot B'S'

.

Τώρα εμφανίζουμε το σταθερό εσωτερικό σημείο

.
.

: Ορθότητα_KARKAR_2.png (30.18 KiB) Προβλήθηκε 39 φορές

.
Φέρνουμε τις παράλληλες :

SA//S'A'\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SB//S'B'

και προκύπτει η μια και μοναδική λύση του προβλήματος

(λόγω του αιτήματος του Ευκλείδη )

#4

KARKAR έγραψε: Κυρ Αύγ 16, 2026 5:20 pm Από σημείο εσωτερικό οξείας γωνίας $\hat{O}$ , να αχθούν δύο κάθετες μεταξύ τους ευθείες , οι οποίες

να τέμνουν τις δύο πλευρές της γωνίας στα σημεία , έτσι ώστε να είναι : $\widehat{OAS}=\widehat{OBS}$ .

Καλησπέρα από Γρεβενά...

Εργαζόμαστε με τη σειρά στα παρακάτω τρία σχήματα:

1ο Σχήμα

: Ορθότητα και ισότητα 1.png (15.02 KiB) Προβλήθηκε 8 φορές

Θεωρούμε τη διχοτόμο της γωνίας

\widehat{Q_oSP_o}

, όπου $\displaystyle{P_o, Q_o}$ οι προβολές του $\displaystyle{S}$

στις πλευρές της δοθείσας γωνίας. Η διχοτόμος αυτή φαίνεται με στικτή γραμμή. Στη συνέχεια περιστρέφουμε

κατά γωνία ίση με $\displaystyle{45^o}$ και κατά τη θετική φορά την ημιευθεία (με κόκκινο χρώμα) γύρω από το σημείο $\displaystyle{S}$ .

Έτσι προκύπτει το σημείο $\displaystyle{Q}$ ,

2ο Σχήμα

: Ορθότητα και ισότητα 2.png (16.67 KiB) Προβλήθηκε 8 φορές

Στη συνέχεια περιστρέφουμε το τρίγωνο

SQ_oQ

γύρω από τη διχοτόμο αυτή και κατά γωνία ίση με $\displaystyle{180^o}$ .

Ο μετασχηματισμός αυτός γίνεται στο χώρο και ουσιαστικά είναι μια αξονική συμμετρία. Έτσι προκύπτει το νέο τρίγωνο

SQ'_oQ'

3ο Σχήμα

: Ορθότητα και ισότητα 3.png (15.11 KiB) Προβλήθηκε 8 φορές

Στο σχήμα αυτό φαίνεται η ομοιοθεσία που οδηγεί το νέο αυτό τρίγωνο στη τελική θέση του

SP_oP

.

Η ομοιοθεσία αυτή έχει κέντρο το σημείο $\displaystyle{S}$ και λόγο ίσο με

\frac{SP_o}{SQ_o} =ct

Τα σημεία $\displaystyle{P,Q}$ είναι προφανώς τα ζητούμενα.

Αναρτώ και το δυναμικό σχήμα: https://www.geogebra.org/m/uszehqap

Κώστας Δόρτσιος

Ορθότητα και ισότητα

Ορθότητα και ισότητα

Re: Ορθότητα και ισότητα

Re: Ορθότητα και ισότητα

Re: Ορθότητα και ισότητα

Μέλη σε σύνδεση