Παραπάνω από ισότητα

KARKAR · #1

: Παραπάνω από ισότητα.png (15.21 KiB) Προβλήθηκε 78 φορές

Η

είναι διάμετρος ενός κύκλου . Στο βόρειο και στο νότιο ημικύκλιο , εντοπίστε σημεία

N , S ,

αντίστοιχα , τέτοια ώστε αν

είναι η τομή των

AB , NS

, να είναι : NS=NA

και

TA=4TB

.

#2

KARKAR έγραψε: Κυρ Νοέμ 01, 2026 9:17 am Παραπάνω από ισότητα.pngΗ είναι διάμετρος ενός κύκλου . Στο βόρειο και στο νότιο ημικύκλιο , εντοπίστε σημεία $N , S ,$

αντίστοιχα , τέτοια ώστε αν είναι η τομή των $AB , NS$ , να είναι : και $TA=4TB$ .

Είναι

AT=\dfrac{8R}{5}, TB=\dfrac{2R}{5}.

Έστω

η προβολή του

στη διάμετρο. Θέτω OP=x

και με τους συμβολισμούς των

γωνιών στο σχήμα έχω,

\theta=A\widehat NS=180^\circ-2\omega=180^\circ-2N\widehat BA=180^\circ-2(90^\circ-\varphi)=2\varphi=B\widehat ON.

Άρα:

: Παραπάνω από ισότητα.png (19.05 KiB) Προβλήθηκε 73 φορές

ON||BS \Leftrightarrow \frac{{NT}}{{TS}} = \frac{{OT}}{{TB}} = \frac{{R - TB}}{{TB}} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{{NT}}{{NS}} = \frac{3}{5}\mathop \Rightarrow \limits^{NS = AN} NT = \frac{3}{5}\sqrt {2R(R + x)}

Όμως,

NT \cdot TS = AT \cdot TB = \dfrac{{16{R^2}}}{{25}} \Leftrightarrow \dfrac{2}{3}N{T^2} = \dfrac{{16{R^2}}}{{25}} \Leftrightarrow N{T^2} = \dfrac{{24{R^2}}}{{25}}

Από τις δύο παραπάνω εκφράσεις του NT,

βρίσκω ότι

\boxed{x=\dfrac{R}{3}}

Στη συνέχεια ο εντοπισμός των N, S

είναι απλός.

#3

KARKAR έγραψε: Κυρ Νοέμ 01, 2026 9:17 am Παραπάνω από ισότητα.pngΗ είναι διάμετρος ενός κύκλου . Στο βόρειο και στο νότιο ημικύκλιο , εντοπίστε σημεία $N , S ,$

αντίστοιχα , τέτοια ώστε αν είναι η τομή των $AB , NS$ , να είναι : και $TA=4TB$ .

Επειδή στο $\vartriangle NAT$ η

είναι εσωτερική διχοτόμος θα είναι :

\dfrac{{NA}}{{NT}} = \dfrac{{OT}}{{OA}} = \dfrac{3}{5}\,\,\,(1)

Κατασκευή

Σε κύκλο (O)

κέντρου

και διαμέτρου

AB = 10k\,\,,k > 0

θεωρούμε σημείο

της ακτίνας

με

( άρα

TB = 2k

) . Γράφουμε τον Απολλώνιο κύκλο ,

(K,\,R)

για κάθε σημείο,

, του οποίου

: Παραπάνω απο ισότητα_Κατασκευή.png (22.31 KiB) Προβλήθηκε 46 φορές

\dfrac{{MT}}{{MA}} = \dfrac{3}{5}

, Αυτός ο κύκλος τέμνει τον αρχικό στο σημείο

. Η

τέμνει ακόμα τον αρχικό κύκλο στο σημείο

.

Παρατήρηση . Η ακτίνα του κύκλου του Απολλώνιου είναι

\boxed{OK = KJ = R = \dfrac{{AT}}{{|\dfrac{5}{3} - \dfrac{3}{5}|}} = \dfrac{{8k}}{{\dfrac{{16}}{{15}}}} = \dfrac{{15k}}{2}}

Παραπάνω από ισότητα

Παραπάνω από ισότητα

Re: Παραπάνω από ισότητα

Re: Παραπάνω από ισότητα

Μέλη σε σύνδεση