Φυσικοί σε αναδρομική σχέση

#1

Έστω

πραγματικός αριθμός τέτοιος ώστε ο $\displaystyle { N_1= a + \frac {1}{a}$ είναι φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του

.
Για φυσικό k>1

ορίζουμε $\displaystyle {N_k= a^k + \frac {1}{a^k}$ .

α) Δείξτε ότι για κάθε

ο

είναι φυσικός.

β) Βρείτε όλους τους

για τους οποίους ο N_k

είναι πολλαπλάσιο του N_1

.

To α) είμαι βέβαιος ότι το έχουμε δει πολλές φορές στο φόρουμ. Προσθέτω το β) ως απλή ασκησούλα.

#2

α) Για κάθε θετικό ακέραιο $\displaystyle{k}$ είναι:

$\displaystyle{{N_1}{N_{k + 1}} = \left( {a + \frac{1}{a}} \right)\left( {{a^{k + 1}} + \frac{1}{{{a^{k + 1}}}}} \right) = \left( {{a^{k + 2}} + \frac{1}{{{a^{k + 2}}}}} \right) + \left( {{a^k} + \frac{1}{{{a^k}}}} \right) = {N_{k + 2}} + {N_k},}$

οπότε

$\displaystyle{\boxed{{N_{k + 2}} = {N_1}{N_{k + 1}} - {N_k}}}$ $\bf \color{red} \left(\bigstar\right)$ .

Επειδή οι αριθμοί $\displaystyle{{N_1}}$ και $\displaystyle{{N_2} = {a^2} + \frac{1}{{{a^2}}} = {\left( {a + \frac{1}{a}} \right)^2} - 2 = N_1^2 - 2}$ είναι θετικοί ακέραιοι, από τη σχέση $\bf \color{red} \left(\bigstar\right)$ και την Αρχή της Μαθηματικής Επαγωγής έπεται άμεσα ότι ο αριθμός $\displaystyle{{N_k}}$ είναι θετικός ακέραιος για κάθε θετικό ακέραιο $\displaystyle{k.}$

β) Από τη σχέση $\bf \color{red} \left(\bigstar\right)$ προκύπτει ότι για κάθε θετικό ακέραιο $\displaystyle{k}$ ισχύει η ισοδυναμία

$\displaystyle{{N_1}|{N_{k + 2}} \Leftrightarrow {N_1}|{N_k}.}$

Επειδή $\displaystyle{{N_1} > 2,}$ ο $\displaystyle{{N_1}}$ δε διαιρεί τον $\displaystyle{{N_2} = N_1^2 - 2.}$

Επειδή $\displaystyle{{N_3} = {N_1}{N_2} - {N_1} = {N_1}\left( {{N_2} - 1} \right),}$ ο $\displaystyle{{N_1}}$ διαιρεί τον $\displaystyle{{N_3}.}$

Επομένως, ο $\displaystyle{{N_1}}$ διαιρεί τον $\displaystyle{{N_k}}$ αν και μόνο αν ο $\displaystyle{k}$ είναι περιττός.

Φυσικοί σε αναδρομική σχέση

Φυσικοί σε αναδρομική σχέση

Re: Φυσικοί σε αναδρομική σχέση

Μέλη σε σύνδεση