Οκταψήφιοι με διαφορετικά ψηφία

Al.Koutsouridis · #1

Έστω

ο μικρότερος και

ο μεγαλύτερος εκ των οκταψήφιων αριθμών, στην γραφή των οποίων εμβανίζεται κάθε ψηφίο εκ των $1,2, \ldots , 8$ και διαιρούνται με το 137

. Να αποδείξετε, ότι ο A+B

διαιρείται με το

.

#2

Έξυπνο.

Ας παρατηρήσουμε ότι $73 \cdot 137 = 10001$ , άρα το 99999999

είναι πολλαπλάσιο των

και

.

Άρα ο 137

διαιρεί τον $\overline{a_1a_2\cdots a_8}$ αν και μόνο αν διαιρεί και τον $99999999-\overline{a_1a_2\cdots a_8} = \overline{(9-a_1) \cdots (9-a_8)}$ .

Αν λοιπόν $A = \overline{a_1a_2\cdots a_8}$ τότε $B = \overline{(9-a_1) \cdots (9-a_8)}$ . Τότε όμως A+B = 99999999

το οποίοο είναι πολλαπλάσιο του

Οκταψήφιοι με διαφορετικά ψηφία

Οκταψήφιοι με διαφορετικά ψηφία

Re: Οκταψήφιοι με διαφορετικά ψηφία

Μέλη σε σύνδεση