Νεανική εφαπτομένη

KARKAR · #1

: Νεανική εφαπτομένη.png (7.27 KiB) Προβλήθηκε 127 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

το

είναι το μέσο της υποτείνουσας

, την οποία

προεκτείνουμε κατά τμήμα

CS=MC

. Υπολογίστε την

\tan\omega , (\omega=\widehat{SAM})

.

Προαιρετικά , κάντε το ίδιο για κάθετες πλευρές .

Ιστοσελίδα · #2

KARKAR έγραψε: Κυρ Οκτ 11, 2026 6:23 am Στο ορθογώνιο τρίγωνο το είναι το μέσο της υποτείνουσας , την οποία

προεκτείνουμε κατά τμήμα $CS=MC$ . Υπολογίστε την $\tan\omega , (\omega=\widehat{SAM})$ .

Προαιρετικά , κάντε το ίδιο για κάθετες πλευρές .

: shape.png (34.33 KiB) Προβλήθηκε 118 φορές

#3

KARKAR έγραψε: Κυρ Οκτ 11, 2026 6:23 am Νεανική εφαπτομένη.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο το είναι το μέσο της υποτείνουσας , την οποία

προεκτείνουμε κατά τμήμα $CS=MC$ . Υπολογίστε την $\tan\omega , (\omega=\widehat{SAM})$ .

Προαιρετικά , κάντε το ίδιο για κάθετες πλευρές .

: νεανική.png (20.29 KiB) Προβλήθηκε 102 φορές

.
Φέρνουμε $ST\perp AB$ . Τότε τα τρίγωνα

ABC, STB

είναι όμοια με

BS= \dfrac {3a}{2}

και άρα

BT= \dfrac {3c}{2}, \, ST= \dfrac {3b}{2}

. 'Επεται

\tan \phi =\dfrac {3b/2}{c/2}= \dfrac {3b}{c}

και βέβαια

\tan \theta = \tan B = \dfrac {b}{c}

Είναι λοιπόν

\tan \omega= - \tan (\phi + \theta)= - \dfrac {\dfrac {3b}{c}+ \dfrac {b}{c}}{1-\dfrac {3b}{c}\cdot \dfrac {b}{c}}= \boxed {\dfrac {4bc}{3b^2-c^2}}

Για το αριθμητικό παράδειγμα δίνει

\tan \omega = 30

.

#4

KARKAR έγραψε: Κυρ Οκτ 11, 2026 6:23 am Νεανική εφαπτομένη.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο το είναι το μέσο της υποτείνουσας , την οποία

προεκτείνουμε κατά τμήμα $CS=MC$ . Υπολογίστε την $\tan\omega , (\omega=\widehat{SAM})$ .

Προαιρετικά , κάντε το ίδιο για κάθετες πλευρές .

Τα λόγια σε λίγο . ( πληκτρολόγηση )

Ας είναι

το μέσο του

, προφανώς θα είναι μέσο και του

. Θα ισχύει :

\boxed{\frac{{CO}}{{CS}} = \frac{k}{{2k}} = \frac{1}{2}\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\frac{{BO}}{{BS}} = \frac{{3k}}{{6k}} = \frac{1}{2}}

.

Κατά συνέπεια η τετράδα ,

(O,S\backslash B,C)

και η δέσμη ,

A.(O,S\backslash B,C)

είναι αρμονικές και αφού $AC \bot AB$

Στο $\vartriangle ASO$ οι $AC\,\,,\,\,AB$ είναι εσωτερική και εξωτερική διχοτόμος αντίστοιχα ,
.

: Νεανική εφαπτομένη.png (18.97 KiB) Προβλήθηκε 90 φορές

.

\boxed{\tan \theta = \frac{5}{3}\,\,\,\,(1)}

Ας είναι ακόμα

η προβολή του

στην ευθεία

. Επειδή

,

\boxed{\frac{{BA}}{{BD}} = \frac{{BC}}{{BS}} = \frac{{AC}}{{DS}} \Rightarrow \frac{5}{{5 + x}} = \frac{{4k}}{{6k}} = \frac{3}{y} \Rightarrow x = \frac{5}{2}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,y = \frac{9}{2}}

Η εφαπτομένη που θέλουμε είναι :

\boxed{\tan \widehat {MAS} = \tan (\theta + \omega ) = \dfrac{{\dfrac{5}{9} + \dfrac{5}{3}}}{{1 - \dfrac{5}{9} \cdot \dfrac{5}{3}}} = 30}

#5

KARKAR έγραψε: Κυρ Οκτ 11, 2026 6:23 am Νεανική εφαπτομένη.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο το είναι το μέσο της υποτείνουσας , την οποία

προεκτείνουμε κατά τμήμα $CS=MC$ . Υπολογίστε την $\tan\omega , (\omega=\widehat{SAM})$ .

Προαιρετικά , κάντε το ίδιο για κάθετες πλευρές .

: Νεανική εφαπτομένη.png (11.85 KiB) Προβλήθηκε 73 φορές

\tan \omega = \tan (\theta + \varphi ) = \dfrac{{\dfrac{c}{{3b}} + \dfrac{c}{b}}}{{1 - \dfrac{{{c^2}}}{{3{b^2}}}}} = \dfrac{{4bc}}{{3{b^2} - {c^2}}}

και για

c=5, b=3

είναι

\boxed{\tan \omega=30}

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

KARKAR έγραψε: Κυρ Οκτ 11, 2026 6:23 am Νεανική εφαπτομένη.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο το είναι το μέσο της υποτείνουσας , την οποία

προεκτείνουμε κατά τμήμα $CS=MC$ . Υπολογίστε την $\tan\omega , (\omega=\widehat{SAM})$ .

Προαιρετικά , κάντε το ίδιο για κάθετες πλευρές .

Στο παρακάτω σχήμα έχουμε

BD//CA \Rightarrow \dfrac{BD}{b}= \dfrac{SB}{SC}=3 \Rightarrow tan \theta = \dfrac{c}{3b}

tan \phi = \dfrac{c}{b}

, άρα

tan \omega =tan( \theta + \phi )= \dfrac{tan \theta +tan \phi }{1-tan \theta tan \phi }= \dfrac{ \dfrac{c}{3b}+ \dfrac{c}{b} }{1-\dfrac{c}{3b}.\dfrac{c}{b}}= \dfrac{4bc}{3b^2-c^2}

Για

b=3,c=5

παίρνουμε

tan \omega =30

: Νεανική εφαπτομένη.png (14.18 KiB) Προβλήθηκε 51 φορές

Νεανική εφαπτομένη

Νεανική εφαπτομένη

Re: Νεανική εφαπτομένη

Re: Νεανική εφαπτομένη

Re: Νεανική εφαπτομένη

Re: Νεανική εφαπτομένη

Re: Νεανική εφαπτομένη

Μέλη σε σύνδεση