Αναλλοίωτη συλλογή

Al.Koutsouridis · #1

Μια συλλογή 2021

αριθμών έχει την εξής ιδιότητα: αν κάθε αριθμό της συλλογής τον αντικαταστήσουμε με το άθροισμα των υπόλοιπων, τότε προκύπτει η ίδια συλλογή. Να βρείτε το γινόμενο όλων των αριθμών της συλλογής.

abgd · #2

Al.Koutsouridis έγραψε: Τετ Σεπ 29, 2021 3:47 pm Μια συλλογή αριθμών έχει την εξής ιδιότητα: αν κάθε αριθμό της συλλογής τον αντικαταστήσουμε με το άθροισμα των υπόλοιπων, τότε προκύπτει η ίδια συλλογή. Να βρείτε το γινόμενο όλων των αριθμών της συλλογής.

Έστω $\displaystyle{\left\{x_i, \ \ i=1,2,...,2021\right\}}$ το σύνολο των αριθμών.
Ισχύει: $\displaystyle{\left\{y_i=\sum_{k=1,k\ne i}^{2021}{x_k}, \ \ i=1,2,...,2021\right\}={\left\{x_i, \ \ i=1,2,...,2021\right\}}$
Άρα $\displaystyle{ \sum_{i=1}^{2021}{y_i}=\sum_{i=1}^{2021}{x_i} \Rightarrow 2020\sum_{i=1}^{2021}{x_i} =\sum_{i=1}^{2021}{x_i} \Rightarrow \sum_{i=1}^{2021}{x_i}=0}$
και συνεπώς $\displaystyle{\left\{y_i=\sum_{k=1,k\ne i}^{2021}{x_k}=-x_i, \ \ i=1,2,...,2021\right\}={\left\{x_i, \ \ i=1,2,...,2021\right\}}$ ,
δηλαδή για κάθε στοιχείο του συνόλου περιέχεται, στο σύνολο αυτό, και το αντίθετό του.
Επειδή όμως το πλήθος των αριθμών είναι περιττός, θα πρέπει το σύνολο να περιέχει και τον αριθμό $\displaystyle{0}$ .
Άρα το γινόμενο των αριθμών του συνόλου είναι $\displaystyle{0}$ .

Αναλλοίωτη συλλογή

Αναλλοίωτη συλλογή

Re: Αναλλοίωτη συλλογή

Μέλη σε σύνδεση