Ανισότητα με συνθήκη

Al.Koutsouridis · #1

Οι θετικοί αριθμοί a,b,c

ικανοποιούν την εξίσωση

2a^3b+2b^3c+2c^3a = a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2

.

Να αποδείξετε την ανίσωση

$2ab(a-b)^2 + 2bc(b-c)^2+2ca(c-a)^2 \geq (ab+bc+ca)^2$

Πηγή: Μαθηματική ολυμπιάδα του φυσικομαθηματικού λυκείου 239 Α.Πετρούπολης, για τις τάξεις 8/9.

Ορέστης Λιγνός · #2

Ξεχάστηκε ...

Κάνοντας τα αναπτύγματα και πράξεις, καταλήγουμε ότι θέλουμε να δείξουμε ότι $\displaystyle \sum ab(2a-b)^2 \geqslant (a+b+c)abc$ .

Διαιρούμε με abc

και έχουμε $\displaystyle \sum \dfrac{(2a-b)^2}{c} \geqslant a+b+c$ .

Από Cauchy- Schwarz είναι $\displaystyle \sum \dfrac{(2a-b)^2}{c} \geqslant \dfrac{(2a-b+2b-c+2c-a)^2}{a+b+c}=a+b+c$ , ό.έ.δ.

Ανισότητα με συνθήκη

Ανισότητα με συνθήκη

Re: Ανισότητα με συνθήκη

Μέλη σε σύνδεση