Ανισότητα με παράμετρο

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Δίνονται οι πραγματικοί a_i

με

για τους οποίους ισχύει
$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_i\neq 0$

Αν είναι M>0

να δειχθεί ότι

$\displaystyle \left|\sum_{i=1}^{n}a_i+\frac{M-\sum _{i\neq j}a_ia_j}{\sum_{i=1}^{n}a_i}\right|\geq \sqrt{2M+\frac{2M}{n}}$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Τρί Αύγ 11, 2020 9:45 am Δίνονται οι πραγματικοί με
για τους οποίους ισχύει
$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_i\neq 0$

Αν είναι να δειχθεί ότι

$\displaystyle |\sum_{i=1}^{n}a_i+\frac{M-\sum _{i\neq j}a_ia_j}{\sum_{i=1}^{n}a_i}|\geq \sqrt{2M+\frac{2M}{n}}$

Αρχικά υποθέτω πως το $\displaystyle \sum_{i\neq j}a_ia_j$ είναι το $\displaystyle \sum_{1\leq i<j\leq n}a_ia_j$ και όχι το $\displaystyle 2\sum_{1\leq i<j\leq n}a_ia_j$ (αν πάρουμε το δεύτερο για n=2,a_1=1,a_2=1

δεν ισχύει για όλα τα M>0

).
Θα δείξω πρώτα ότι $\displaystyle (\sum_{i=1}^na_i)^2\geq \dfrac{2n}{n-1}\sum_{1\leq i<j\leq n}a_ia_j\,\,\,(*)$ .
Είναι $\displaystyle (n-1)\left ( \sum_{i=1}^{n}a_i \right )^2=(n-1)\sum_{i=1}^na_i^2+2(n-1)\sum_{1\leq i<j\leq n}a_ia_j\overset{AM-GM}{\geq}$
$\displaystyle \overset{AM-GM}{\geq} 2\sum_{1\leq i<j\leq n}a_ia_j+2(n-1)\sum_{1\leq i<j\leq n}a_ia_j=2n\sum_{1\leq i<j\leq n}a_ia_j$ ,οπότε η (*)

ισχύει.
Αφού λοιπόν $\displaystyle \left ( \sum_{i=1}^n a_i \right )^2>\dfrac{n-1}{2n}\left ( \sum_{i=1}^n a_i \right )^2$
θα ισχύει ότι (Θέτω $\displaystyle \sum_{i=1}^na_i=A$ )
$\displaystyle \left |\left ( \sum_{i=1}^n a_i \right )^2+M-\sum_{1\leq i<j\leq n}a_ia_j \right |\geq \left | A^2+M-\dfrac{n-1}{2n}A^2 \right |$

Άρα
$\displaystyle |\sum_{i=1}^{n}a_i+\frac{M-\sum _{i\neq j}a_ia_j}{\sum_{i=1}^{n}a_i}|\geq\left | \dfrac{ A^2+M-\dfrac{n-1}{2n}A^2 }{A} \right |=\left | \dfrac{A^2(n+1)+2Mn}{2An} \right |$
Αρκεί λοιπόν
$\left ( \dfrac{A^2(n+1)+2Mn}{2An} \right )^2\geq2M+\dfrac{2M}{n}$
Αυτό ισχύει καθώς από την $(a+b)^2\geq 4ab$ έχουμε
$\left ( \dfrac{A^2(n+1)+2Mn}{2An} \right )^2\geq \dfrac{4A^2(n+1)2Mn}{4A^2n^2}=2M+\dfrac{2M}{n}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: Τρί Αύγ 11, 2020 10:48 am
Αρχικά υποθέτω πως το $\displaystyle \sum_{i\neq j}a_ia_j$ είναι το $\displaystyle \sum_{1\leq i<j\leq n}a_ia_j$ και όχι το $\displaystyle 2\sum_{1\leq i<j\leq n}a_ia_j$ (αν πάρουμε το δεύτερο για δεν ισχύει για όλα τα ).

Σωστά έτσι είναι.
Σου ζητώ συγνώμη αν σε ταλαιπώρησα.

Ανισότητα με παράμετρο

Ανισότητα με παράμετρο

Re: Ανισότητα με παράμετρο

Re: Ανισότητα με παράμετρο

Μέλη σε σύνδεση