Βελτίωση ορθογωνίου

KARKAR · #1

: Βελτίωση ορθογωνίου.png (11.92 KiB) Προβλήθηκε 934 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , είναι $AC=\dfrac{3}{2}AB$ και το

είναι σημείο της

, ώστε :

. Γράφω κύκλο με κέντρο το

, ο οποίος εφάπτεται της υποτείνουσας

και φέρω το άλλο εφαπτόμενο προς αυτόν , τμήμα

. Η διάμεσος

τέμνει την

στο σημείο

. Δείξτε ότι το τρίγωνο ASQ

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές .

Υπολογίστε το (ASQ)

συναρτήσει της AB=c

( Πρόσθετο ερώτημα )

#2

KARKAR έγραψε:Στο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , είναι $AC=\dfrac{3}{2}AB$ και το είναι σημείο της , ώστε : . Γράφω κύκλο με κέντρο το , ο οποίος εφάπτεται της υποτείνουσας και φέρω το άλλο εφαπτόμενο προς αυτόν , τμήμα . Η διάμεσος τέμνει την στο σημείο . Δείξτε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές .

προφανώς ομοκυκλικά σε κύκλο διαμέτρου $KB \Rightarrow \angle AQB = \angle AKB\mathop = \limits^{\angle AK = AB,\angle KAB = {{90}^0}} {45^0}:\left( 1 \right)$ και

$\angle QAS \equiv \angle QAM = \angle QAK + \angle KAM =$ $\angle QBK + \angle ACM = \angle CBK + \angle ACM$ $\mathop = \limits^{\vartriangle CKB\,\,(\varepsilon \xi \omega \tau \varepsilon \rho \iota \kappa \eta )} \angle AKB = {45^0}:\left( 2 \right)$ .

Από $\left( 1 \right),\left( 2 \right)\Rightarrow \vartriangle ASQ$ ορθογώνιο και ισοσκελές και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

Υ.Σ η σχέση των καθέτων πλευρών του αρχικού ορθογωνίου τριγώνου είναι προφανώς περιττή. Αρκεί

#3

KARKAR έγραψε:Βελτίωση ορθογωνίου.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , είναι $AC=\dfrac{3}{2}AB$ και το είναι σημείο της , ώστε :

. Γράφω κύκλο με κέντρο το , ο οποίος εφάπτεται της υποτείνουσας

και φέρω το άλλο εφαπτόμενο προς αυτόν , τμήμα . Η διάμεσος τέμνει την

στο σημείο . Δείξτε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές .

Καλησπέρα σε όλους .

Ας πούμε

το σημείο τομής των $AQ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BK$ .

1. Το τετράπλευρο KQAB

είναι εγγράψιμο γιατί τα A,Q

βλέπουν την

υπό

ίσες και μάλιστα ορθές γωνίες .

Άρα $\boxed{\widehat {{\omega _1}} = \widehat {{\omega _2}}}$ .

Επειδή η διακεντρική ευθεία διχοτομεί τη γωνία των εφαπτομένων θα έχουμε και

$\boxed{\widehat {{\omega _1}} = \widehat {{\omega _3}}}$ οπότε $\boxed{\widehat {{\omega _3}} = \widehat {{\omega _2}}}$ και κατά συνέπεια

2. Και το τετράπλευρο TABC

είναι εγγράψιμο .

Τώρα όμως θα έχουμε ότι και οι κορυφές T,C

θα βλέπουν την

: Βελτίωση ορθογωνίου.png (30.64 KiB) Προβλήθηκε 893 φορές

υπό ίσες γωνίες . Επειδή $\widehat {{\phi _1}} = \widehat {{\phi _2}}$ και από το τρίγωνο $\vartriangle TKQ$ $\widehat {{\phi _2}} + 45^\circ = \widehat {{\phi _2}} + 45^\circ$

(η $\widehat {{\phi _2}} + 45^\circ = \widehat {QKB}$ είναι εξωτερική του γωνία) , θα έχουμε

$\widehat {{\phi _1}} = \widehat {{\phi _2}} = \widehat {{\phi _3}} = \widehat {ACB} = \widehat \theta$ , δηλαδή $\boxed{\widehat {{\phi _1}} = \widehat \theta }$ και αφού $\widehat {{\phi _1}} + \widehat {{\omega _1}} = 45^\circ$ θα είναι και

$\boxed{\widehat \theta + \widehat {{\omega _2}} = 45^\circ }$ συνεπώς το τρίγωνο $\vartriangle SQA$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές .

Και στην πιο πάνω λύση δεν χρειάστηκε το δεδομένο της σχέσης μεταξύ των καθέτων πλευρών .

Φιλικά

Νίκος

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε:Βελτίωση ορθογωνίου.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , είναι $AC=\dfrac{3}{2}AB$ και το είναι σημείο της , ώστε :

. Γράφω κύκλο με κέντρο το , ο οποίος εφάπτεται της υποτείνουσας

και φέρω το άλλο εφαπτόμενο προς αυτόν , τμήμα . Η διάμεσος τέμνει την

στο σημείο . Δείξτε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές .

Είναι $\displaystyle{\angle PBK = \angle KBQ = x}$

Αν $\displaystyle{AL \bot QA}$ τότε λόγω και του εγγράψιμου $\displaystyle{KQAB \Rightarrow \angle BQA = \angle AKB = {45^0}}$ κι ακόμη όλες οι γωνίες $\displaystyle{x}$ είναι ίσες

Επειδή $\displaystyle{x + \theta = {45^0} \Rightarrow \vartriangle QAL}$ ορθογώνιο-ισοσκελές

$\displaystyle{\angle MAB = \angle MBA \Rightarrow {45^0} + x = x + \angle SAL \Rightarrow \boxed{\angle SAL = {{45}^0}}}$ και $\displaystyle{AS \bot BQ}$

Προφανώς τώρα $\displaystyle{\vartriangle QSA}$ ορθογώνιο-ισοσκελές

#5

KARKAR έγραψε:Βελτίωση ορθογωνίου.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , είναι $AC=\dfrac{3}{2}AB$ και το είναι σημείο της , ώστε :

. Γράφω κύκλο με κέντρο το , ο οποίος εφάπτεται της υποτείνουσας

και φέρω το άλλο εφαπτόμενο προς αυτόν , τμήμα . Η διάμεσος τέμνει την

στο σημείο . Δείξτε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές .

Υπολογίστε το συναρτήσει της ( Πρόσθετο ερώτημα )

Καλό μεσημέρι σε όλους!

Για το πρόσθετο ερώτημα: Θέτω AQ=x, KP=KQ=y

: Βελτίωση ορθογωνίου.png (21.89 KiB) Προβλήθηκε 839 φορές

Από Π. Θ βρίσκω $\displaystyle{a = \frac{{c\sqrt {13} }}{2}}$ και από τα όμοια τρίγωνα ABC, PKC

, $\displaystyle{\frac{{KP}}{c} = \frac{c}{{2a}} \Leftrightarrow y = \frac{c}{{\sqrt {13} }}}$

Νόμος συνημιτόνων στο AQK:

$\displaystyle{{c^2} = {x^2} + {y^2} - 2xy\cos {135^0} \Leftrightarrow {x^2} + \frac{{c\sqrt 2 }}{{\sqrt {13} }}x - \frac{{12{c^2}}}{{13}} = 0 \Leftrightarrow }$ $\boxed{x = \frac{{2c\sqrt 2 }}{{\sqrt {13} }}}$

$\displaystyle{(ASQ) = \frac{{{x^2}}}{4} \Leftrightarrow }$ $\boxed{(ASQ) = \frac{{2{c^2}}}{{13}}}$

Βελτίωση ορθογωνίου

Βελτίωση ορθογωνίου

Re: Βελτίωση ορθογωνίου

Re: Βελτίωση ορθογωνίου

Re: Βελτίωση ορθογωνίου

Re: Βελτίωση ορθογωνίου

Μέλη σε σύνδεση