Δυνατή άσκηση

Lymperis Karras · #1

Έστω

ισοσκελές τρίγωνο, με CA=CB, M

το μέσον της

και

το ίχνος του ύψους από την κορυφή

στην

. Ο κύκλος που περνά από τα B,C,M

τέμνει την

στο σημείο

. Αν

, να εκφραστεί η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του $\triangle ABC$ συναρτήσει του

.

#2

Lymperis Karras έγραψε: Πέμ Απρ 01, 2021 3:07 pm Έστω ισοσκελές τρίγωνο, με το μέσον της και το ίχνος του ύψους από την κορυφή στην . Ο κύκλος που περνά από τα τέμνει την στο σημείο . Αν , να εκφραστεί η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του $\triangle ABC$ συναρτήσει του
.

Ωραία άσκηση!

Έστω

το μέσο του BC.

Το περίκεντρο

του

είναι το σημείο τομής της

με τη μεσοκάθετο του BC.

Επειδή η

είναι μεσοκάθετος των AB, MN

θα είναι

και

Αλλά, η

διχοτομεί

τη γωνία $M\widehat CB,$ οπότε QB=QM,

δηλαδή το

είναι το περίκεντρο του ABNM.

: Δυνατή άσκηση.png (24.48 KiB) Προβλήθηκε 2822 φορές

Αν λοιπόν

είναι το αντιδιαμετρικό του

ως προς αυτό τον κύκλο, τότε επειδή $O\widehat NB=90^\circ,$ τα σημεία

θα είναι συνευθειακά. Άρα

είναι το βαρύκεντρο του CBB',

οπότε $\displaystyle CO = \frac{2}{3}CQ \Leftrightarrow$ $\boxed{ R = \frac{{2m}}{3}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

Lymperis Karras έγραψε: Πέμ Απρ 01, 2021 3:07 pm Έστω ισοσκελές τρίγωνο, με το μέσον της και το ίχνος του ύψους από την κορυφή στην . Ο κύκλος που περνά από τα τέμνει την στο σημείο . Αν , να εκφραστεί η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του $\triangle ABC$ συναρτήσει του
.

Λόγω της μεσοκαθέτου

είναι

Από Πτολεμαίο στο CMQB

έχουμε $br+ \dfrac{b}{2}r=mMB \Rightarrow MB= \dfrac{3br}{2m}$

$(ABC)=2(MAB) \Rightarrow \dfrac{ab^2}{4R} =2 \dfrac{ \dfrac{3b^2ra}{2m} }{4r} \Rightarrow R= \dfrac{2m}{3}$

: ακτίνα.png (21.61 KiB) Προβλήθηκε 2799 φορές

Lymperis Karras · #4

Πραγματικά, και οι δύο λύσεις με εντυπωσίασαν. ΣΥΓΧΑΡΗΤΗΡΙΑ, διότι αυτή η άσκηση ήταν δύσκολη, αλλά ταυτόχρονα και πολύ όμορφη, με πολλές διαφορετικές λύσεις! Θα επιχειρήσω κάτι διαφορετικό, αν και το πήγαινα προς την λύση του κ, Βισβίκη.

#5

Μπορείτε να δείτε εδώ για άλλες λύσεις. Είναι το δεύτερο θέμα της JBMO 2004.
https://artofproblemsolving.com/communi ... 344p101576

Δυνατή άσκηση

Δυνατή άσκηση

Re: Δυνατή άσκηση

Re: Δυνατή άσκηση

Re: Δυνατή άσκηση

Re: Δυνατή άσκηση

Μέλη σε σύνδεση