Τριψήφιος

harrisp · #1

Τέσσερις διαφορετικοί θετικοί ακέραιοι τριψήφιοι αριθμοί έχουν το ίδιο πρώτο ψηφίο και το άθροισμα των αριθμών αυτών διαιρείται ακριβώς με τρεις από αυτούς. Να βρείτε τους τέσσερις αριθμούς.

JimNt. · #2

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Τέσσερις διαφορετικοί θετικοί ακέραιοι τριψήφιοι αριθμοί έχουν το ίδιο πρώτο ψηφίο και το άθροισμα των αριθμών αυτών διαιρείται ακριβώς με τρεις από αυτούς. Να βρείτε τους τέσσερις αριθμούς.

Το κοινό ψηφίο πρέπει αναγκαστικά να είναι αυτό των μονάδων.

dement · #3

Όχι, υποθέτω ότι εννοεί αυτό των εκατοντάδων. Με αυτή την υπόθεση η λύση υπάρχει και είναι μοναδική.

JimNt. · #4

dement έγραψε:Όχι, υποθέτω ότι εννοεί αυτό των εκατοντάδων. Με αυτή την υπόθεση η λύση υπάρχει και είναι μοναδική.

Τότε γιατί υφίσταται η λεξη πρώτο; (Από αριστερά ή δεξιά)

harrisp · #5

JimNt. έγραψε:
dement έγραψε:Όχι, υποθέτω ότι εννοεί αυτό των εκατοντάδων. Με αυτή την υπόθεση η λύση υπάρχει και είναι μοναδική.
Τότε γιατί υφίσταται η λεξη πρώτο; (Από αριστερά ή δεξιά)

Συγγνώμη που άργησα να απαντήσω αλλα ήμουν Μπασκετ.

Σωστά επισήμανε ο κ. Δημητρης ειναι των εκατοντάδων.

harrisp · #6

Επαναφορά!

JimNt. · #7

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Επαναφορά!

Αν $\overline{bac}, \overline{dae}, \overline{fag}, \overline{haj}$ οι αριθμοί. Θα πρέπει $\overline{bac} + \overline{dae} + \overline{fag} \mid \overline{haj}$ . Θα πρέπει $(\overline{bac} + \overline{dae} + \overline{fag})x= \overline{haj}$ . Εστω προς άτοπο ότι x>3

. Τότε το πλήθος των εκαντοντάδων του $(\overline{bac} + \overline{dae} + \overline{fag})χ$ θα είναι $\ge (b+d+f)x \ge 3x> 12$ , άτοπο. Συνεπώς, $x\le 2$ . Και τώρα απλά περιπτώσεις...

harrisp · #8

JimNt. έγραψε:
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Επαναφορά!
Αν $\overline{bac}, \overline{dae}, \overline{fag}, \overline{haj}$ οι αριθμοί. Θα πρέπει $\overline{bac} + \overline{dae} + \overline{fag} \mid \overline{haj}$ . Θα πρέπει $(\overline{bac} + \overline{dae} + \overline{fag})x= \overline{haj}$ . Εστω προς άτοπο ότι . Τότε το πλήθος των εκαντοντάδων του $(\overline{bac} + \overline{dae} + \overline{fag})χ$ θα είναι $\ge (b+d+f)x \ge 3x> 12$ , άτοπο. Συνεπώς, $x\ge 2$ . Και τώρα απλά περιπτώσεις...

Το αθροισμα τους διαρειται με τρεις απο αυτούς. Οχι το αντίστροφο.

JimNt. · #9

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
JimNt. έγραψε:
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Επαναφορά!
Αν $\overline{bac}, \overline{dae}, \overline{fag}, \overline{haj}$ οι αριθμοί. Θα πρέπει $\overline{bac} + \overline{dae} + \overline{fag} \mid \overline{haj}$ . Θα πρέπει $(\overline{bac} + \overline{dae} + \overline{fag})x= \overline{haj}$ . Εστω προς άτοπο ότι . Τότε το πλήθος των εκαντοντάδων του $(\overline{bac} + \overline{dae} + \overline{fag})χ$ θα είναι $\ge (b+d+f)x \ge 3x> 12$ , άτοπο. Συνεπώς, $x\ge 2$ . Και τώρα απλά περιπτώσεις...
Το αθροισμα τους διαρειται με τρεις απο αυτούς. Οχι το αντίστροφο.

Δεν εννοείς ότι το άθροισμα των τριών διαιρεί το άθροισμα των

άρων;

harrisp · #10

JimNt. έγραψε:
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
JimNt. έγραψε:
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Επαναφορά!
Αν $\overline{bac}, \overline{dae}, \overline{fag}, \overline{haj}$ οι αριθμοί. Θα πρέπει $\overline{bac} + \overline{dae} + \overline{fag} \mid \overline{haj}$ . Θα πρέπει $(\overline{bac} + \overline{dae} + \overline{fag})x= \overline{haj}$ . Εστω προς άτοπο ότι . Τότε το πλήθος των εκαντοντάδων του $(\overline{bac} + \overline{dae} + \overline{fag})χ$ θα είναι $\ge (b+d+f)x \ge 3x> 12$ , άτοπο. Συνεπώς, $x\ge 2$ . Και τώρα απλά περιπτώσεις...
Το αθροισμα τους διαρειται με τρεις απο αυτούς. Οχι το αντίστροφο.
Δεν εννοείς ότι το άθροισμα των τριών διαιρεί το άθροισμα των άρων;

Οχι. Οτι το αθροισμα των τεσσάρων διαρειται με τρεις απο αυτούς

Αν S το αθροισμα και S=a+b+c+d τότε a|S και b|S και c|S

dement · #11

Για να μη μένει.

Έστω a < b < c < d

οι αριθμοί. Αφού είναι τριψήφιοι με ίδιο πρώτο ψηφίο, ισχύει d < 2a

.

Αν οι τρεις διαιρέτες είναι οι a, b, c

, τότε

οπότε το άθροισμα είναι

και οι

είναι αντίστοιχα $\displaystyle \frac{4c}{n}, \frac{4c}{m}$ με $5 \leqslant m < n \leqslant 7$ , ενώ $\displaystyle d = 3c - \frac{4c(m+n)}{mn}$ . Εύκολα διαπιστώνουμε ότι σε όλες τις περιπτώσεις d > 2a

, που δεν μπορεί να ισχύει.

Άρα $d \mid a+b+c+d$ . Ισχύουν 2d < d/2 + d/2 + d/2 + d < a + b + c + d < 4d

, οπότε το άθροισμα είναι

και οι άλλοι δύο διαιρέτες είναι υποχρεωτικά $\displaystyle \frac{3d}{4}, \frac{3d}{5}$ . Ο τέταρτος αριθμός είναι $\displaystyle 3d - d - \frac{3d}{4} - \frac{3d}{5} = \frac{13d}{20}$ .

Αφού $\displaystyle \frac{d}{a} = \frac{5}{3}$ , το πρώτο ψηφίο είναι υποχρεωτικά

. Επίσης $20 \mid d$ αλλά d > 160

(αλλιώς $a \leqslant 94$ ). Έτσι d = 180

και

είναι η μοναδική λύση.

harrisp · #12

dement έγραψε:Για να μη μένει.

Έστω οι αριθμοί. Αφού είναι τριψήφιοι με ίδιο πρώτο ψηφίο, ισχύει .

Αν οι τρεις διαιρέτες είναι οι , τότε οπότε το άθροισμα είναι και οι είναι αντίστοιχα $\displaystyle \frac{4c}{n}, \frac{4c}{m}$ με $5 \leqslant m < n \leqslant 7$ , ενώ $\displaystyle d = 3 - \frac{4(m+n)}{mn}$ . Εύκολα διαπιστώνουμε ότι σε όλες τις περιπτώσεις , που δεν μπορεί να ισχύει.

Άρα $d \mid a+b+c+d$ . Ισχύουν , οπότε το άθροισμα είναι και οι άλλοι δύο διαιρέτες είναι υποχρεωτικά $\displaystyle \frac{3d}{4}, \frac{3d}{5}$ . Ο τέταρτος αριθμός είναι $\displaystyle 3d - d - \frac{3d}{4} - \frac{3d}{5} = \frac{13d}{20}$ .

Αφού $\displaystyle \frac{d}{a} = \frac{5}{3}$ , το πρώτο ψηφίο είναι υποχρεωτικά . Επίσης $20 \mid d$ αλλά (αλλιώς $a \leqslant 94$ ). Έτσι και είναι η μοναδική λύση.

Πολύ Όμορφα κύριε Δημήτρη !

(Περίμενα να λυθεί, αλλά μάλλον δυσκόλεψε)

Η άσκηση προέρχεται απο διαγωνισμό επιλογής Κύπρου για Jbmo

Τριψήφιος

Τριψήφιος

Re: Τριψήφιος

Re: Τριψήφιος

Re: Τριψήφιος

Re: Τριψήφιος

Re: Τριψήφιος

Re: Τριψήφιος

Re: Τριψήφιος

Re: Τριψήφιος

Re: Τριψήφιος

Re: Τριψήφιος

Re: Τριψήφιος

Μέλη σε σύνδεση