Πρώτοι

#1

Το γινόμενο ενός πλήθους πρώτων αριθμών, όχι απαραίτητα διαφορετικών, ισούται με 40 φορές το άθροισμά τους.
Να βρείτε αυτούς τους πρώτους.

https://artofproblemsolving.com/communi ... 4p26169701

#2

Έστω $p_1,\ldots,p_k$ οι συγκεκριμένοι πρώτοι. Τότε

$\displaystyle p_1p_2 \cdots p_k = 40(p_1+\cdots + p_k)$

Τότε $2|p_1 \cdots p_k$ άρα 2|p_1

ή ... ή

. Χωρίς βλάβη της γενικότητας είναι p_1=2

. Ομοίως μπορούμε να υποθέσουμε ότι p_2=p_3=2

και

. Καταλήγουμε στο

$\displaystyle p_5p_6 \cdots p_k = 11+p_5 + \cdots + p_k$

Αν k=5

, τότε έχουμε p_5 = 11+p_5

το οποίο είναι αδύνατο.

Αν k=6

τότε έχουμε p_5p_k = 11 + p_5 + p_6

το οποίο δίνει $(p_5-1)(p_6-1) = 12 = 12\times 1 = 6 \times 2 = 4\times 3$ και αφού οι p_5,p_6

είναι πρώτοι οι μόνες επιλογές είναι οι (13,2),(7,3)

και οι μεταθέσεις τους.

Αν $k\geqslant 7$ γράφω $P = p_7 \cdots p_k$ . Τότε p_5p_6P = (11+P)+p_5+p_6

το οποίο δίνει

$\displaystyle P(11+P)+1 = (Pp_5-1)(Pp_6-1) \geqslant (2P-1)^2 = 4P^2 - 4P+1$

Αλλά τότε $3P^2 - 15P \leqslant 5$ που δίνει $P \leqslant 5$ . Επειδή όμως ο

είναι γινόμενο πρώτων, πρέπει P = 2,3,4,5

.

Αν

τότε $(2p_5-1)(2p_6-1) = 27 = 9 \times 3$ που δίνει p_5=5,p_6=2

και αντίστροφα.
Αν P=3

τότε

που είναι αδύνατο. (Επειδή χωρίς βλάβη της γενικότητας είναι 3p_6-1=1

.)
Αν

τότε

που είναι αδύνατο.
Αν P=5

τότε $(5p_5-1)(5p_6-1) = 81 = 27 \times 3 = 9 \times 9$ που δίνει p_5=p_6 =2

. (Παίρνουμε μετάθεση της λύσης στην περίπτωση P=2

.)

Τελικά έχουμε τις εξής επιλογές:

Πρώτοι

Πρώτοι

Re: Πρώτοι

Μέλη σε σύνδεση