Τέλειο τετράγωνο

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 836
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Τέλειο τετράγωνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Τετ Ιούλ 12, 2017 12:52 pm

Με επιφύλαξη για το φάκελο...
Να αποδείξετε ότι για κάθε k\in \mathbb{Z}^{*} ο αριθμός \displaystyle{2017k^{2}-120} δεν είναι τέλειο τετράγωνο.

Φιλικά,
Μάριος


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 743
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Τέλειο τετράγωνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τετ Ιούλ 12, 2017 2:35 pm

Μια λύση εκτός φακέλου:

Στην πραγματικότητα θα αποδείξουμε πως η εξίσωση:

m^2\equiv -120 \pmod{2017}\Leftrightarrow m^2\equiv 1897 \pmod{2017} δεν έχει λύσεις στους θετικούς ακεραίους.

Θα χρησιμοποιήσουμε τετραγωνικά κατάλοιπα με τον συμβολισμό Legendre. Για να μην είναι το 1897 τετραγωνικό κατάλοιπο \pmod{2017}, πρέπει:

(\dfrac{1897}{2017})=-1\Leftrightarrow (\dfrac{7}{2017})(\dfrac{271}{2017})=-1

Λόγω του ότι οι αριθμοί 7 και 2017 είναι πρώτοι έχουμε από τον νόμο τετραγωνικής αντιστροφής πως:

(\dfrac{7}{2017})(\dfrac{2017}{7})=(-1)^{\dfrac{7-1}{2}\cdot \dfrac{2017-1}{2}}=1\Leftrightarrow (\dfrac{7}{2017})=(\dfrac{2017}{7}).

Όμοια αποδεικνύουμε πως:

(\dfrac{271}{2017})=(\dfrac{2017}{271})

Άρα αρκεί (\dfrac{2017}{7})(\dfrac{2017}{271})=-1\Leftrightarrow (\dfrac{1}{7})(\dfrac{120}{271})=-1\Leftrightarrow\displaystyle{(\dfrac{120}{271})=-1\Leftrightarrow (\dfrac{-151}{271})=-1\Leftrightarrow}(\dfrac{-1}{271})(\dfrac{151}{271})=-1

Όμως αφού 271\equiv 3 \pmod{4}, είναι γνωστό πως (\dfrac{-1}{271})=-1.

Επομένως αρκεί:

(\dfrac{151}{271})=1

Χρησιμοποιώντας πάλι τον νόμο τετραγωνικής αντιστροφής έχουμε ότι:

(\dfrac{151}{271})=-(\dfrac{271}{151})

Αρκεί λοιπόν:

(\dfrac{271}{151})=-1\Leftrightarrow (\dfrac{120}{151})=-1\Leftrightarrow (\dfrac{31}{151})=1\Leftrightarrow (\dfrac{151}{31})=-1\Leftrightarrow (\dfrac{27}{31})=-1\Leftrightarrow (\dfrac{3}{31})=-1\Leftrightarrow (\dfrac{31}{3})=1\Leftrightarrow (\dfrac{1}{3})=1 που ισχύει.


Houston, we have a problem!
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2058
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Τέλειο τετράγωνο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Ιούλ 12, 2017 2:48 pm

M.S.Vovos έγραψε:
Με επιφύλαξη για το φάκελο...
Να αποδείξετε ότι για κάθε k\in \mathbb{Z}^{*} ο αριθμός \displaystyle{2017k^{2}-120} δεν είναι τέλειο τετράγωνο.

Φιλικά,
Μάριος
Εστω ότι είναι 2017k^{2}=120+n^{2}(1)

Γράφουμε k=5t+r,n=5f+w όπου r,w\in \left \{ 0,1,-1,2,-2 \right \}

Αντικαθιστώντας παίρνουμε ότι 2r^{2}=w^{2}+5l,l\in \mathbb{Z}

Αυτό μπορεί να συμβεί μόνο αν r=w=0

Τότε όμως αν αντικαταστήσουμε στην (1) βγαίνει ότι 25/120

ΑΤΟΠΟ.
Βλέπω ότι έχει απαντήσει και ο Διονύσης με διαφορετική λύση.
Προσπάθησα να κάνω την λύση όσο πιο στοιχειώδη γίνεται.


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 743
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Τέλειο τετράγωνο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τετ Ιούλ 12, 2017 11:09 pm

Δεν φανταζόμουν πως είχε τόσο απλή λύση!

Εγώ στην πραγματικότητα απέδειξα κάτι πιο ισχυρό από το ζητούμενο, δεν έλαβα υπόψιν μου το τέλειο τετράγωνο k^2, δηλαδή ότι το 2017l-120 δεν είναι τέλειο τετράγωνο...


Houston, we have a problem!
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης