Απλή?

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

Απάντηση
Κω.Κωνσταντινίδης
Δημοσιεύσεις: 42
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 22, 2018 5:40 pm

Απλή?

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κω.Κωνσταντινίδης »

Αν ο \kappa είναι θετικός ακέραιος, να βρείτε τους θετικούς ακέραιους αριθμούς \nu έτσι ώστε να έχουμε
3^{\kappa }\mid 2^{\nu }-1
Τελευταία επεξεργασία από το μέλος Κω.Κωνσταντινίδης την Τρί Νοέμ 27, 2018 12:20 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Κωνσταντινίδης Κωνσταντίνος
Ετικέτες:
Θεωρία-αριθμών
Κορυφή
min##
Δημοσιεύσεις: 342
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Απλή?

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## »

Είναι γνωστό ότι το 2 είναι πρωταρχική ρίζα mod κάθε δύναμης του 3:Έχουμε 3^{k}/2^{n}-1,δηλαδή 2^{n}\equiv 1 mod3^k.Για να δειχτεί το παραπάνω,αρκεί το ord(2)_{3}= \phi (3^k)=2*3^{k-1}.Επειδή 2^{3^{k-1}}\not\equiv 1 mod3,αρκεί 2^{2*3^{k-2}}\not\equiv 1 mod3^{k}
,αλλά 2^{2*3^{k-2}}=(2^{{2*3^{k-3}}})^3 και το x^3\equiv 1 mod3^a σημαίνει x\equiv 1 mod3^{a-1} ,άρα αρκεί να δειχτεί ότι 2^{2*3^{n-3}}\not\equiv 1 mod3^{n-1} και τελικά 2^2\not\equiv 1 mod 3^2 που ισχύει.Άρα για κάθε k,το n είναι πολλαπλάσιο του \phi (3^k)

.(Η άνω απόδειξη του λήμματος είναι σχετικά γνωστή)

Εναλλακτικά το πιάνω από το τέλος της δεύτερης γραμμής:Αρκεί 2^{2*3^{k-2}}\not\equiv 1 mod3^{k}.Έστω ότι ισχύει 2^{2*3^{k-2}}\equiv 1 mod3^{k} δηλαδή 4^{3^{k-2}}\equiv 1 mod3^k,δηλαδή \upsilon _{3}(4^{3^{k-2}}-1)\geq k.Από LTE είναι
\upsilon _{3}(4^{3^{k-2}}-1)=1+k-2=k-1 άτοπο κλπ..




Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή στο “Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης