Διαιρετότητα και σύστημα!

Lymperis Karras · #1

Αν

πρώτος θετικός ακέραιος, και x,y

θετικοί ακέραιοι, να βρείτε όλα τα ζευγάρια (x,y)

συναρτήσει του

, που είναι λύσεις της εξίσωσης p(x-2)=x(y-1)

σχέση

. Αν επιπλέον δίνεται ότι x+y=21

, να βρείτε όλες τις τριάδες (x,y,p)

που είναι λύσεις της εξίσωσης (1)

.

User#0000 · #2

Επειδή ο

είναι πρώτος προκύπτουν οι παρακάτω πιθανές περιπτώσεις:

* x=p

&

**

&

(αδύνατο)

*** x=1

&

****

&

Δηλαδή $(x,y)\in \left \{(p,p-1), (1, 1-p), (\frac{2p}{p-1},2) \right \}$ .

Αν επιπλέον x+y=21

*

δεκτό

*** p=-19

αδύνατο ,

**** $p=\frac{19}{17}$ αδύνατο, $\frac{19}{17}\notin\mathbb{P}$

Δηλαδή η μοναδική λύση είναι το (x,y,p)=(11,10,11)

Lymperis Karras · #3

nikhtas30 έγραψε: Δευ Απρ 26, 2021 8:40 pm Δηλαδή η μοναδική λύση είναι το

Για ξαναδες το. Είναι όντως η μοναδική λύση? Επίσης, νομίζω πως η μέθοδός σου είναι λάθος. Δεν είναι μόνο αυτές οι περιπτώσεις, διότι οι παράγοντες τις εξίσωσης (όλοι εκτός του

), μπορούν να είναι και πρώτοι και σύνθετοι. Αν θες προσπάθησέ την άλλη μία, σου δίνω και ένα hint:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Joaakim · #4

Lymperis Karras έγραψε: Δευ Απρ 26, 2021 6:43 pm Αν πρώτος θετικός ακέραιος, και θετικοί ακέραιοι, να βρείτε όλα τα ζευγάρια συναρτήσει του , που είναι λύσεις της εξίσωσης σχέση . Αν επιπλέον δίνεται ότι , να βρείτε όλες τις τριάδες που είναι λύσεις της εξίσωσης .

Είναι $x|p(x-2) \Rightarrow x|-2p \Rightarrow x|2p \Rightarrow x=1,2,p,2p$ .
Αν x=1

, τότε

, άτοπο.
Αν x=2

, τότε $y-1=0 \Rightarrow y=1 \Rightarrow (x,y)=(2,1)$ .
Αν x=p

, τότε $y-1=p-2 \Rightarrow y=p-1 \Rightarrow (x,y)=(p,p-1)$ .
Αν x=2p

, τότε $2p-2=2(y-1) \Rightarrow p-1=y-1 \Rightarrow p=y \Rightarrow (x,y,p)=(2p,p,p)$ .

Για x+y=21

:
$2p-1=21 \Rightarrow 2p=22 \Rightarrow p=11 \Rightarrow x=11,y=10 \Rightarrow (x,y,p)=(11,10,11)$ , ή,
$3p=21 \Rightarrow p=7 \Rightarrow x=14,y=7 \Rightarrow (x,y,p)=(14,7,7)$ .

Lymperis Karras · #5

Joaakim έγραψε: Δευ Απρ 26, 2021 11:55 pm
Lymperis Karras έγραψε: Δευ Απρ 26, 2021 6:43 pm Αν πρώτος θετικός ακέραιος, και θετικοί ακέραιοι, να βρείτε όλα τα ζευγάρια συναρτήσει του , που είναι λύσεις της εξίσωσης σχέση . Αν επιπλέον δίνεται ότι , να βρείτε όλες τις τριάδες που είναι λύσεις της εξίσωσης .
Είναι $x|p(x-2) \Rightarrow x|-2p \Rightarrow x|2p \Rightarrow x=1,2,p,2p$ .
Αν , τότε , άτοπο.
Αν , τότε $y-1=0 \Rightarrow y=1 \Rightarrow (x,y)=(2,1)$ .
Αν , τότε $y-1=p-2 \Rightarrow y=p-1 \Rightarrow (x,y)=(p,p-1)$ .
Αν , τότε $2p-2=2(y-1) \Rightarrow p-1=y-1 \Rightarrow p=y \Rightarrow (x,y,p)=(2p,p,p)$ .

Για :
$2p-1=21 \Rightarrow 2p=22 \Rightarrow p=11 \Rightarrow x=11,y=10 \Rightarrow (x,y,p)=(11,10,11)$ , ή,
$3p=21 \Rightarrow p=7 \Rightarrow x=14,y=7 \Rightarrow (x,y,p)=(14,7,7)$ .

User#0000 · #6

Lymperis Karras έγραψε: Δευ Απρ 26, 2021 9:13 pm
nikhtas30 έγραψε: Δευ Απρ 26, 2021 8:40 pm Δηλαδή η μοναδική λύση είναι το
Για ξαναδες το. Είναι όντως η μοναδική λύση? Επίσης, νομίζω πως η μέθοδός σου είναι λάθος. Δεν είναι μόνο αυτές οι περιπτώσεις, διότι οι παράγοντες τις εξίσωσης (όλοι εκτός του ), μπορούν να είναι και πρώτοι και σύνθετοι. Αν θες προσπάθησέ την άλλη μία, σου δίνω και ένα hint:
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
λύστο με διαιρετότητα (πχ διαιρεί το και λοιπά)

Άργησα, αλλά κάλλιο αργά παρά ποτέ...

$\frac{px-2p}{x}=y-1\Leftrightarrow y=p-\frac{2p}{x}+1$

Επειδή:

$y\in\mathbb{Z^+}\Rightarrow p-\frac{2p}{x}+1\in\mathbb{Z^+}\Rightarrow$
$p-\frac{2p}{x}+1≥1\wedge \frac{2p}{x}\in\mathbb{Z^+}\Leftrightarrow$
$x≥2\wedge\frac{2p}{x}≥1\wedge x|2p\Leftrightarrow$
$2≤x≤2p\wedge x|2p\Leftrightarrow x\in\left \{2, p, 2p \right \}$

Lymperis Karras · #7

Η λύση

δεν υφίσταται. Έχουμε p>1

και

, άρα

, άτοπο. Η 3η λύση δεν είναι ειδική περίπτωση, καθώς καλύπτεται από την (2p,p)

. Κατά τα άλλα σωστός!. O Joaakim κάλυψε λιτά και απέριτα το θέμα, παραθέτοντας όλες τις λύσεις.

Διαιρετότητα και σύστημα!

Διαιρετότητα και σύστημα!

Re: Διαιρετότητα και σύστημα!

Re: Διαιρετότητα και σύστημα!

Re: Διαιρετότητα και σύστημα!

Re: Διαιρετότητα και σύστημα!

Re: Διαιρετότητα και σύστημα!

Re: Διαιρετότητα και σύστημα!

Μέλη σε σύνδεση