Πολλαπλασιασμοί με το 5 και με ακέραιο k

[Dimessi]

Το πρόβλημα το κατασκεύασα προερχόμενο από τη λύση μου σε ένα άλλο καταχωρημένο σε φάκελο Juniors και το δυσκόλεψα πολύ.
Εκείνο είναι ευκολότερο και για να το κάνω ενδιαφέρον έκανα την δύσκολη παρατήρηση

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Η εκφώνηση για να απευθύνεται σε Juniors θα έπρεπε να λέει πως αναδιατάξεις ψηφίων και πολλαπλασιασμοί με το δεν υφίστανται εντός της διαδικασίας αλλά η αναδιάταξη των ψηφίων πραγματοποιείται μόνο όταν φτάσουμε στον ψήφιο αριθμό τον οποίο πολλαπλασιάζουμε με έναν ακέραιο
γιατί διαφορετικά το πρόβλημα είναι άμεσο από ένα προχωρημένο θεώρημα για τα ψηφία των αριθμών modulo 5
και δεν έχει μεγάλο ενδιαφέρον συνδυαστικά.
Θα υποθέσουμε ότι μεταξύ των πολλαπλασιασμών με το δεν μεσολαβεί καμία αναδιάταξη από το και μετά γιατί αν μεσολαβεί κάποια το συμπέρασμα είναι άμεσο από ότι δεν είναι εφικτό.
Έστω ότι μετά από πεπερασμένο αριθμό βημάτων μπορούμε να επιτύχουμε τον αριθμό
Στα δύο πρώτα βήματα είναι αναγκαστικά
Έχοντας φθάσει σε έναν αριθμό κατά τη διαδικασία τότε για να αυξηθούν τα ψηφία αυτού του αριθμού θα πρέπει μετά από οποιαδήποτε αναδιάταξη των ψηφίων του ο αριθμός που προκύπτει να πολλαπλασιαστεί με διότι οποιαδήποτε αναδιάταξη διατηρεί το ίδιο πλήθος ψηφίων κι αφού για κάθε θετικό ακέραιο αν πολλαπλασιαστεί με το το γινόμενο θα περιέχει το πολύ ένα ψηφίο περισσότερο διότι ο πολλαπλασιασμός με το δίνει ακριβώς ένα ψηφίο περισσότερο και έπειτα η διαίρεση με το εξασφαλίζει ότι το γινόμενο θα έχει το πολύ ένα ψηφίο περισσότερο από τον αρχικό αριθμό, έπεται ότι οι πολλαπλασιασμοί αυτοί θα πρέπει να πραγματοποιηθούν για τουλάχιστον φορές έτσι ώστε να προκύψει ψήφιος αριθμός και συνεπώς ο αριθμός που θα προκύψει στο τέλος θα είναι κάποια αναδιάταξη ενός ψήφιου αριθμού με αυτά τα ψηφία ο οποίος λήγει σε και ο οποίος διαιρείται με το
Αν ο αριθμός αυτός έχει στην πρώτη θέση το τότε θα είναι ο
Αν ο αριθμός αυτός περιέχει στη δεκαδική του αναπαράσταση το στην οστή θέση και το στην πρώτη θέση τότε τα με
θα εμφανίζονται για κάθε εκτός του όπου χάρη στη οστή θέση θα εμφανιστεί και το και τότε ο αριθμός είναι ο

κι αφού αν τότε έπεται ότι και άρα
κι αφού που είναι άτοπο.
Επομένως ο αριθμός περιέχει στη δεκαδική του αναπαράσταση το ψηφίο στην πρώτη θέση και άρα είναι ο και άρα που είναι άτοπο.

Ξεκινώντας από το κάθε αριθμό μπορούμε να τον πολλαπλασιάσουμε με το είτε να αναδιατάξουμε τα ψηφία του έτσι ώστε μεταξύ των πολλαπλασιασμών με το να μην μεσολαβεί καμία τέτοια αναδιάταξη ψηφίων και όταν φθάσουμε σε ψήφιο αριθμό τον πολλαπλασιάζουμε με έναν θετικό ακέραιο και αναδιατάσσουμε τα ψηφία του γινομένου ώστε να προκύψει ο αριθμός .
Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι δυνατόν να είναι ο αριθμός που περιέχει ακριβώς ψηφία.