Χρωματισμός

[2nisic]

Δίνεται κύβος και αφαιρούμε τα μοναδιαία τετράγωνα στης κορυφές τούς.Να βρεθει το μέγιστο πλήθος σχημάτων μπορούμε να τοποθετήσουμε.Τα σχήματα αποτελούνται από ένα και ένα


Πρόκειται για θέμα που τέθηκε το στον αντίστοιχο Αρχιμήδη νέων στην Ιαπωνία.

[Mihalis_Lambrou]

Δίνεται κύβος και αφαιρούμε τα μοναδιαία τετράγωνα στης κορυφές τούς.Να βρεθει το μέγιστο πλήθος σχημάτων μπορούμε να τοποθετήσουμε.Τα σχήματα αποτελούνται από ένα και ένα

.
Απάντηση:

Βάφουμε τα κυβάκια με μαύρο και άσπρο, όπως στο σχήμα. Υπάρχουν άσπρα και μαύρα. Αφαιρούμε τα γωνιακά (όλα μαύρα) οπότε στο τέλος έχουμε άσπρα και μαύρα.

Κάθε σχήμα, όπως και αν το τοποθετήσουμε στον μεγάλο κύβο, καταλαμβάνει άσπρα και μαύρα κυβάκια. Αφού έχουμε μαύρα στο σχήμα μας, σημαίνει ότι μπορούμε να βάλουμε στον κύβο μας το πολύ σχήματα . Παραπάνω από δεν γίνεται, αλλά το ερώτημα είναι αν μπορούμε να βάλουμε και τα . Ευτυχώς, μπορούμε. Συγκεκριμένα, τα τρία μεσαία στρώματα έχουν από σχήματα , όπως στην εικόνα. Στο πάνω και στο κάτω στρώμα βάζουμε από , όπως στην εικόνα. Αυτό μας κάνει ένα σύνολο από . Μένει να χωρέσουμε άλλο ένα.

Παρατηρούμε ότι στο σχήμα με τις στρώσεις υπάρχει ένα κάθετο τούνελ που διαπερνά τον κύβο αρχίζοντας από το μεσαίο κυβάκι του επάνω ορόφου. Εκεί μέσα τοποθετούμε ένα κατακόρυφο με την ουρά του προς τα κάτω. Στον πάνω όροφο έχει χώρο για το κεφάλι του , είτε αριστερά είτε δεξιά του κεντρικού.

Τελικά, χωρέσαμε και τα σχήματα . Υπόψη περίσσεψαν λευκά και μαύρο κυβάκι.
.