Πρόβλημα με πίνακα!!

[socrates]

Σε κάθε κελί ενός πίνακα γράφουμε έναν θετικό ακέραιο (οι αριθμοί δεν είναι υποχρεωτικά διαφορετικοί) έτσι ώστε το άθροισμα των αριθμών σε κάθε γραμμή και σε κάθε στήλη να είναι διαφορετικό. Ποια είναι η μικρότερη δυνατή τιμή του αθροίσματος των αριθμών του πίνακα;
Τι γίνεται αν οι αριθμοί στον πίνακα είναι διαφορετικοί ανά δύο;

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Για το δεύτερο ερώτημα:

Αν όλοι οι αριθμοί είναι διαφορετικοί μεταξύ τους, τότε το άθροισμα είναι τουλάχιστον . Άρα, θα ελέγξουμε αν είναι εφικτό με αυτούς τους αριθμούς.

Πράγματι:



Όλα τα αθροίσματα είναι διαφορετικά.

Το ελάχιστο σε αυτή την περίπτωση είναι .

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Επανέρχομαι για το πρώτο!

Έστω το άθροισμα των στοιχείων του πίνακα.

Το άθροισμα των αθροισμάτων ανά γραμμή θα είναι ίσο με το άθροισμα των αθροισμάτων ανά στήλη και ίσο με , δηλαδή και .

Επειδή το ελάχιστο άθροισμα οποιασδήποτε γραμμής-στήλης είναι και τα αθροίσματα γραμμών-στηλών πρέπει είναι διαφορετικά, το ελάχιστο δεν θα είναι λιγότερο από . Όμως το πρέπει να είναι άρτιος, άρα είναι τουλάχιστον . Θα δοκιμάσουμε με τους αριθμούς όπου και . Τότε μπορεί να προκύψει ο εξής πίνακας:



Άρα το ελάχιστο άθροισμα είναι

[socrates]

[christodoulos703]

Έχω μία απορία.Το διαγώνια κουτάκια θεωρούνται στήλες ή γραμμές;Γιατί νομίζω πως όχι.Συνεπως,οπως δείχνει το παραπάνω σχήμα μπορούμε να αντικαταστήσουμε το 2 με το 1 και το 5 με το 4 αφου τα αθροίσματα στηλών και γραμμώνθα παραμείνουν διαφορετικά και έτσι θα προκύψει ως ελάχιστο άθροισμα το 15.Θα το εκτιμούσα εάν καποιος μπορούσε να μου πει εάν έχω δίκαιο ή όχι.

Φιλικά,
Χριστοδουλος.

[Demetres]

Με γραμμές εννοούμε μόνο τις τρεις οριζόντιες σειρές τριών τετραγώνων και με στήλες εννοούμε μόνο τις τρεις κάθετες σειρές τριών τετραγώνων. Δεν λαμβάνουμε υπόψη τις διαγωνίους.

Η λύση πάντως είναι σωστή και δεν μπορεί να προκύψει άθροισμα ίσο με . (Άλλωστε αυτό έχει αποδειχθεί και στην ανάρτηση του Διονύση.)

Δεν λες ποιο από τα δύο δυάρια αλλάζεις αλλά για οποιοδήποτε υπάρχει πρόβλημα:

Αν αλλάξεις το δυάρι στην πρώτη στήλη, τότε το άθροισμα της πρώτης γραμμής ισούται με το άθροισμα της πρώτης στήλης κάτι που απαγορεύεται.

Αν αλλάξεις το δυάρι στην δεύτερη στήλη, τότε το άθροισμα της δεύτερης γραμμής ισούται με το άθροισμα της πρώτης στήλης κάτι που πάλι απαγορεύεται.

[christodoulos703]

Με συγχωρείτε.Το σκέφτηκα λίγο πρόχειρα,χωρις χαρτί και μολύβι.