Μη ανάγωγη μορφή

Al.Koutsouridis · #1

Το μη ανάγωγο κλάσμα $\dfrac{a}{b}$ είναι τέτοιο, ώστε

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{999}{1999} + \dfrac{999}{1999} \cdot \dfrac{998}{1998} + \dfrac{999}{1999} \cdot \dfrac{998}{1998} \cdot \dfrac{997}{1997} + \ldots + \dfrac{999}{1999} \cdot \dfrac{998}{1998} \cdot \ldots \cdot \dfrac{1}{1001}$

Να βρείτε τα

και

.

Summand · #2

Μια υπόδειξη με επιφύλαξη:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Έχω μια λύση, αλλά πρέπει να υπάρχει και πιο απλή. Αν δεν απαντηθεί μέχρι αύριο θα τη βάλω ολόκληρη.

#3

Έχουμε

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} \frac{(n-1)!}{(k-1)!} \cdot \frac{(n+k-1)!}{(2n-1)!} = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{\binom{n+k-1}{n}}{\binom{2n-1}{n}} = \frac{\binom{2n+1}{n+1}}{\binom{2n-1}{n}} = \frac{n-1}{n+1}$

Στη δεύτερη ισότητα χρησιμοποιήσαμε την ταυτότητα

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} \binom{n+k-1}{n} = \binom{2n-1}{n+1}$

η οποία προκύπτει μετρώντας τα υποσύνολα μεγέθους n+1

του $\{1,2,\ldots,2n-1\}$ ως εξής: Υπάρχουν $\binom{2n-1-r}{n}$ τέτοια υποσύνολα με μικρότερο στοιχείο το

. Άρα

$\displaystyle \binom{2n-1}{n+1} = \sum_{r=1}^{n-1} \binom{2n-1-r}{n} = \sum_{k=1}^{n-1} \binom{n+k-1}{n}$

όπου στην τελευταία ισότητα κάναμε την αλλαγή μεταβλητής k = n-r

.

Το ζητούμενο είναι η περίπτωση n=1000

οπότε η τελική απάντηση είναι $\frac{999}{1001}$ όπως έχει ήδη πει και ο Summand.

Summand · #4

Πάμε να δούμε και μια ελάχιστα διαφορετική αντιμετώπιση

'Εστω $\displaystyle{k \in \mathbb{N}}$

Θεωρούμε την ακολουθία

$\displaystyle{a_n=\sum_{j=1}^{n}\frac{k!(k+1000-j)!}{(k-j)!(k+1000)!}=\frac{k!\ 1000!}{(k+1000)!}\sum_{j=1}^{n}\frac{(k+1000-j)!}{(k-j)!\ 1000!}=\frac{k!\ 1000!}{(k+1000)!}\sum_{j=1}^{n}\binom{k+1000-j}{k-j}, \ n\geq 1}$

Μας ενδιαφέρει ο όρος $\displaystyle{a_k}$ οπότε έχουμε

$\displaystyle{a_k=\frac{k!\ 1000!}{(k+1000)!}\sum_{j=1}^{k}\binom{k+1000-j}{k-j}=\frac{k!\ 1000!}{(k+1000)!}\sum_{m=0}^{k-1}\binom{m+1000}{m}=\frac{k!\ 1000!}{(k+1000)!}\binom{k+1000}{k-1}=\frac{k}{1001}}$

Για $\displaystyle{k=999}$ παίρνουμε το ζητούμενο $\displaystyle{a_{999}=\frac{999}{1001}}$

ksofsa · #5

Λίγο διαφορετικά:

Είναι:

$A_{n}=\dfrac{n}{1001}$

$B_{n}=\dfrac{n}{1000+n}$

$C_{n}=1+A_{n-1}=\dfrac{1000+n}{1001}$

Παρατηρούμε ότι:

$B_{n}C_{n}=A_{n}$ .

Έστω $D_{n}$ το άθροισμα των

τελευταίων όρων του ζητούμενου αθροίσματος.

Τότε:

$\dfrac{a}{b}=B_{999}+B_{999}B_{998}+...+B_{999}B_{998}...B_{1}$

και

$D_{2}=B_{999}...B_{2}(1+A_{1})=B_{999}...B_{2}C_{2}=B_{999}...B_{3}A_{2}$

και

$D_{3}=B_{999}...B_{3}(1+A_{2})=B_{999}...B_{3}C_{3}=B_{999}...B_{4}A_{3}$

και επαγωγικά καταλήγουμε:

$D_{998}=B_{999}A_{998}$

και

$D_{999}=B_{999}(1+A_{998})=B_{999}C_{999}=A_{999}=\dfrac{999}{1001}$

Τελικά:

$\dfrac{a}{b}=\dfrac{999}{1001}\Leftrightarrow a=999,b=1001$

Μη ανάγωγη μορφή

Μη ανάγωγη μορφή

Re: Μη ανάγωγη μορφή

Re: Μη ανάγωγη μορφή

Re: Μη ανάγωγη μορφή

Re: Μη ανάγωγη μορφή

Μέλη σε σύνδεση