Αριθμητική πρόοδος

#1

Έστω

πραγματικοί αριθμοί και

το σύνολο όλων των δυνατών αθροισμάτων δύο διαφορετικών από αυτούς τους αριθμούς.
Αν το

έχει ακριβώς 7 στοιχεία, να δείξετε ότι οι a, b, c, d ,e

σχηματίζουν αριθμητική πρόοδο.

thepigod762 · #2

socrates έγραψε: Παρ Νοέμ 05, 2021 11:32 pm Έστω πραγματικοί αριθμοί και το σύνολο όλων των δυνατών αθροισμάτων δύο διαφορετικών από αυτούς τους αριθμούς.
Αν το έχει ακριβώς 7 στοιχεία, να δείξετε ότι οι σχηματίζουν αριθμητική πρόοδο.

Το πλήθος των δυνατών αθροισμάτων δύο διαφορετικών από τους αριθμούς είναι $\binom{5}{2}=\dfrac{5!}{(5-2)!2!}=10$
Επειδή το σύνολο

αυτών έχει

στοιχεία,

ζευγάρια αυτών των αθροισμάτων είναι ίσα.

Προφανώς, για τα ζευγάρια αυτά, απορρίπτονται οι περιπτώσεις a+b=c+d, b+c=d+e, a+b=d+e,a+c=d+e

Επίσης, αν $(x,y,z) \epsilon (a,b,c,d,e), x\neq y\neq z$ , τότε $x+y\neq x+z$ , καθώς $y\neq z$
Άρα, απορρίπτονται και οι a+b=b+c, a+b=b+d, a+b=b+e,... ,c+d=c+e,...

Καταλήγουμε με τις περιπτώσεις b+e=c+d, a+d=b+c,a+e=b+d

Παίρνουμε

$\begin{cases} a+d=b+c\\ b+d=a+e\\ \end{cases}\Rightarrow 2d=c+e\Leftrightarrow e-d=d-c$

$\begin{cases} c+d=b+e\\ c+b=a+d\\a+e=b+d \end{cases}\Rightarrow 2c=b+d\Leftrightarrow d-c=c-b$

$\begin{cases} b+e=c+d\\ a+d=b+c\\ \end{cases}\Rightarrow2b=a+c\Leftrightarrow c-b=b-a$

Άρα, οι a,b,c,d,e

σχηματίζουν αριθμητική πρόοδο.

Αριθμητική πρόοδος

Αριθμητική πρόοδος

Re: Αριθμητική πρόοδος

Μέλη σε σύνδεση