Πάντα ακέραιος

KARKAR · #1

Έστω : $x=\sqrt{a+1}-\sqrt{a} , a\in \mathbb{N^*}$ . α) Υπολογίστε το : $x^2+\dfrac{1}{x^2}$ .

Εξετάστε αν αληθεύει ο ισχυρισμός ότι ο : $x^{2n}+\dfrac{1}{x^{2n}} , n\in \mathbb{N^*}$ , είναι ακέραιος .

Tolaso J Kos · #2

KARKAR έγραψε: Σάβ Νοέμ 16, 2024 1:24 pm Έστω : $x=\sqrt{a+1}-\sqrt{a} , a\in \mathbb{N^*}$ . α) Υπολογίστε το : $x^2+\dfrac{1}{x^2}$ .

Εξετάστε αν αληθεύει ο ισχυρισμός ότι ο : $x^{2n}+\dfrac{1}{x^{2n}} , n\in \mathbb{N^*}$ , είναι ακέραιος .

Με ισχυρή επαγωγή. Έστω $y_n = x^{2n} + \frac{1}{x^{2n}} \in \mathbb{Z}$ . Τότε,

$\displaystyle{ \begin{aligned} y_1y_n-y_{n-1} &=\left(\frac1{x^2}+x^2\right)\left(\frac1{x^{2n}}+x^{2n}\right) \\ & \quad \quad \quad \quad - \left(\frac1{x^{2n-2}}+x^{2n-2}\right) \\ &=\frac1{x^{2n+2}}+x^{2n+2}\\ &=y_{n+1} \end{aligned}}$
όπου y_0 = 2

και $y_1 = x^2 + \frac{1}{x^2} \in \mathbb{Z}$ διότι

$\displaystyle{\begin{aligned} x^2 + \frac{1}{x^2} &= \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 - 2 \\ &= \left( \sqrt{a+1} - \sqrt{a} + \frac{1}{\sqrt{a+1} - \sqrt{a}} \right)^2-2 \\ &= 4a + 2 \in \mathbb{Z} \end{aligned}}$

Πάντα ακέραιος

Πάντα ακέραιος

Re: Πάντα ακέραιος

Μέλη σε σύνδεση