Ημιάρρητη ανίσωση

KARKAR · #1

Λύστε την ανίσωση : $\sqrt{\dfrac{5x+1}{5x-1}}\geq\dfrac{8x+1}{8x-1}$

#2

KARKAR έγραψε: Παρ Μαρ 27, 2026 8:46 am Λύστε την ανίσωση : $\sqrt{\dfrac{5x+1}{5x-1}}\geq\dfrac{8x+1}{8x-1}$

$\displaystyle \bullet$ Πρέπει το υπόρριζο να είναι θετικό $\boxed{x < - \dfrac{1}{5}}$ ή $\boxed{ x > \dfrac{1}{5}}$ Ο περιορισμός αυτός εξασφαλίζει ότι και το δεύτερο μέλος είναι θετικό, οπότε μπορώ να υψώσω στο τετράγωνο.

$\displaystyle \frac{{5x + 1}}{{5x - 1}} - \frac{{{{(8x + 1)}^2}}}{{{{(8x - 1)}^2}}} \geqslant 0 \Leftrightarrow \frac{{2(1 - 16{x^2})}}{{(5x - 1){{(8x - 1)}^2}}}\ge 0 \Leftrightarrow x \leqslant - \frac{1}{4}$ ή $\displaystyle x \in \left( {\frac{1}{5},\frac{1}{4}} \right]$

Συνδυάζοντας τώρα αυτό το αποτέλεσμα με τον παραπάνω περιορισμό, έχω τελικά: $\boxed{x \in \left( { - \infty , - \frac{1}{4}} \right] \cup \left( {\frac{1}{5},\frac{1}{4}} \right]}$

#3

KARKAR έγραψε: Παρ Μαρ 27, 2026 8:46 am Λύστε την ανίσωση : $\sqrt{\dfrac{5x+1}{5x-1}}\geq\dfrac{8x+1}{8x-1}$

.
Πεδίο ορισμού του αριστερού μέλους τα

με $\dfrac{5x+1}{5x-1} \ge 0$ , ισοδύναμα $\left (-\infty , \, -\dfrac {1}{5} \right )\cup \left (\dfrac {1}{5} , \, \infty \right )$ . Σε αυτό ορίζεται και το δεξί μέλος αφού δεν περιέχει την ρίζα του παρονομαστή 8x-1

.

Εργαζόμαστε χωριστά στους δύο κλάδους.

α) $x\in \left (\dfrac {1}{5} , \, \infty \right )$

Tότε τα 5x+1, 5x-1, 8x+1, 8x-1

είναι όλα θετικά, οπότε μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε χιαστί την δοθείσα και μετά να υψώσουμε στο τετράγωνο. Ανάγεται στην

$(5x+1)(8x-1)^2\ge (5x-1)(8x+1)^2$ , ισοδύναμα $x^2 \le \dfrac {1}{16}$ , οπότε $-\dfrac {1}{4} \le x \le \dfrac {1}{4}$ . Μαζί με τον περιορισμό είναι

$\boxed {\dfrac {1}{5} < x \le \dfrac {1}{4}}$ .

β) $x\in \left (-\infty , \, -\dfrac {1}{5} \right )$

Tότε τα 5x+1, 5x-1, 8x+1, 8x-1

είναι όλα αρνητικά, και εργαζόμαστε ανάλογα με την προηγούμενη περίπτωση. Θα βρούμε λύση

$\boxed {\left (-\infty , \, - \dfrac {1}{4} \right ]}$ .

Τελικά, η λύση είναι η ένωση των δύο προηγούμενων.

Edit. Με πρόλαβε ο Γιώργος. το αφήνω.

Ημιάρρητη ανίσωση

Ημιάρρητη ανίσωση

Re: Ημιάρρητη ανίσωση

Re: Ημιάρρητη ανίσωση

Μέλη σε σύνδεση