Βρείτε τις συναρτήσεις

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{f(x + y) + f(x + z) - f(x)f(y + z) \geq 1, }$ για κάθε $x,y,z \in \mathbb{R}.$

Δυσκολότερη έκδοση:
viewtopic.php?f=184&t=56173

#2

$\displaystyle{x=y=z=0:}$ $\displaystyle{(f(0)-1)^2\leq 0\implies f(0)=1}$

$\displaystyle{\bullet}$ $\displaystyle{z=0:}$ $\displaystyle{f(x+y)+f(x)\geq 1+f(x)f(y)~~\forall x,y}$ ( $\displaystyle{\bf\color{red}1}$ )

$\displaystyle{\bullet}$ $\displaystyle{x=0:}$ $\displaystyle{f(y)+f(z)\geq 1+f(y+z)}$ ( $\displaystyle{\bf\color{red}2}$ )

Στην ( $\displaystyle{\bf\color{red}1}$ ) $\displaystyle{y=x:}$ $\displaystyle{1+f^2(x)\leq f(x)+f(2x)}$ ( $\displaystyle{\bf\color{red}3}$ )

Στην ( $\displaystyle{\bf\color{red}2}$ ) $\displaystyle{y=z=x:}$ $\displaystyle{1+f(2x)\leq 2f(x)}$ ( $\displaystyle{\bf\color{red}4}$ )

( $\displaystyle{\bf\color{red}3}$ ) $\displaystyle{\wedge}$ ( $\displaystyle{\bf\color{red}4}$ ) $\displaystyle{\implies f(x)\geq 1.}$ ( $\displaystyle{\bf\color{red}5}$ )

Στην ( $\displaystyle{\bf\color{red}1}$ ) $\displaystyle{y=-x:}$ $\displaystyle{f(x)\geq f(x)f(y)\stackrel{(\bf{\color{red}5})}{\implies} f(y)\leq 1.}$

Αυτή μαζί με την ( $\displaystyle{\bf\color{red}5}$ ) μας λένε ότι $\displaystyle{f(x)\equiv 1.}$ Η συνάρτηση αυτή ικανοποιεί την αρχική, οπότε είναι η μοναδική λύση.

#3

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε

$\displaystyle{f(x + y) + f(x + z) - f(x)f(y + z) \geq 1, (1)}$ για κάθε $x,y,z \in \mathbb{R}.$

$x=y=z=0\quad (1)\Rightarrow f(0)=1$

$y=z=0\quad (1)\Rightarrow f(x)\geq 1(\bigstar),x\in \mathbb R$

$y=0,z=-x\quad (1)\Rightarrow f(x)\geq f(x)f(-x)\stackrel{(\bigstar)}\Rightarrow f(-x)\leq 1\Rightarrow f(x)\leq 1,x\in \mathbb R$

Άρα $f(x)=1,x\in \mathbb R$ ,δεκτή.

#4

Σωστά!

Βρείτε τις συναρτήσεις

Βρείτε τις συναρτήσεις

Re: Βρείτε τις συναρτήσεις

Re: Βρείτε τις συναρτήσεις

Re: Βρείτε τις συναρτήσεις

Μέλη σε σύνδεση