Βρείτε τις συναρτήσεις!

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{f(f(x)+2y)=f(2x+y)+2y, }$ για κάθε $x,y\in \mathbb{R}.$

Δυσκολότερη έκδοση:
viewtopic.php?f=184&t=56175

#2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε

$\displaystyle{f(f(x)+2y)=f(2x+y)+2y,(1) }$ για κάθε $x,y\in \mathbb{R}.$

Γεια σου Θανάση.

Έστω f(0)=a

$x=0 \quad (1)\Rightarrow f(a+2y)=f(y)+2y\quad (2)$

$y=-a\quad (2)\Rightarrow a=0\Rightarrow f(0)=0$

$y=0\quad (1)\Rightarrow f(f(x))=f(2x)$ και η $(2)\Rightarrow f(2x)=f(x)+2x$ ,άρα

f(f(x))=f(2x)=f(x)+2x

, η

1-1 στο $\mathbb R$

$y\to -\dfrac{f(x)}{2},(1)\Rightarrow f(2x-\dfrac{f(x)}{2})=f(x)\Rightarrow f(x)=2x,x\in \mathbb R$ ικανοποιεί την αρχική.

#3

Αλλιώς:
Θέτουμε y=2x-f(x)

και άμεσα βγαίνει f(x)=2x.

Αλλιώς:
Αν f(a)=f(b)

τότε

ή

Θέτοντας

έχουμε

Οπότε η

είναι 1-1.
Από την f(f(x))=f(2x)

έχουμε

Βρείτε τις συναρτήσεις!

Βρείτε τις συναρτήσεις!

Re: Βρείτε τις συναρτήσεις!

Re: Βρείτε τις συναρτήσεις!

Μέλη σε σύνδεση