Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 11536
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Μετά την ωραία συλλογή ασκήσεων στο τεύχος 14 του Εικοσιδωδεκαέδρου, ανοίγω καινούργιο θρεντ με νέες.
Τα κριτήριά μου για την επιλογή τους είναι
α) Να μην είναι πολύ απλές (π.χ. εισαγωγικές) στο θέμα αλλά κάπως πιο δύσκολες.
β) Σε καμία περίπτωση να μην είναι δύσκολες, πέραν του "θεμιτού". Απαιτητικές μπορεί να είναι, αλλά η ιδέα είναι να μπορεί να τις λύσει ένας μαθητής που θα αφιερώσει την κατάλληλη σκέψη και εργασία. Στόχος είναι να πάρει εφόδια ο μαθητής και να κάνει προπόνηση στον δρόμο του για προβλήματα σε πιο δύσκολους διαγωνισμούς.
Προαπαιτούμενες γνώσεις: Τα σχολικά αλλά λίγο παραπάνω (π.χ. Vieta κλπ).
Σε λίγο θα βάλω την πρώτη. Υπομονή.
Τα κριτήριά μου για την επιλογή τους είναι
α) Να μην είναι πολύ απλές (π.χ. εισαγωγικές) στο θέμα αλλά κάπως πιο δύσκολες.
β) Σε καμία περίπτωση να μην είναι δύσκολες, πέραν του "θεμιτού". Απαιτητικές μπορεί να είναι, αλλά η ιδέα είναι να μπορεί να τις λύσει ένας μαθητής που θα αφιερώσει την κατάλληλη σκέψη και εργασία. Στόχος είναι να πάρει εφόδια ο μαθητής και να κάνει προπόνηση στον δρόμο του για προβλήματα σε πιο δύσκολους διαγωνισμούς.
Προαπαιτούμενες γνώσεις: Τα σχολικά αλλά λίγο παραπάνω (π.χ. Vieta κλπ).
Σε λίγο θα βάλω την πρώτη. Υπομονή.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 11536
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
ΑΣΚΗΣΗ 1
Έστω ότι η
έχει ρίζες
.
Βρείτε την τριτοβάθμια εξίσωση που έχει ρίζες τις
.
Με χρήση των αποτελέσμάτων σας δείξτε ότι η ικανή και αναγκαία συνθήκη η εξίσωση
να έχει δύο ρίζες ίσες (δηλαδή μία διπλή) είναι
.
Σχόλιο: Το αποτέλεσμα αυτό είναι γνωστότατο και βρίσκεται σε όλα τα βιβλία με τίτλο Theory of Equations, και τα παρεμφερή. Την τοποθετώ εδώ γιατί οι μαθητές μας μπορεί να μην έχουν πρόσβαση στην βιβλιογραφία και γιατί οδηγώ σε διαφορετική απόδειξη από την συνηθισμένη στα βιβλία. Άλλωστε ήθελα να ξεκινήσω με μία κάπως απλή άσκηση. Αργότερα θα βάλω και δυσκολότερες.
Παρακαλώ να αφήσουμε τουλάχιστον την σημερινή ημέρα, Κυριακή 27/11/16, σε προσπάθειες των μαθητών μας.
Έστω ότι η


Βρείτε την τριτοβάθμια εξίσωση που έχει ρίζες τις

Με χρήση των αποτελέσμάτων σας δείξτε ότι η ικανή και αναγκαία συνθήκη η εξίσωση


Σχόλιο: Το αποτέλεσμα αυτό είναι γνωστότατο και βρίσκεται σε όλα τα βιβλία με τίτλο Theory of Equations, και τα παρεμφερή. Την τοποθετώ εδώ γιατί οι μαθητές μας μπορεί να μην έχουν πρόσβαση στην βιβλιογραφία και γιατί οδηγώ σε διαφορετική απόδειξη από την συνηθισμένη στα βιβλία. Άλλωστε ήθελα να ξεκινήσω με μία κάπως απλή άσκηση. Αργότερα θα βάλω και δυσκολότερες.
Παρακαλώ να αφήσουμε τουλάχιστον την σημερινή ημέρα, Κυριακή 27/11/16, σε προσπάθειες των μαθητών μας.
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Μπορεί να είναι αυτονόητο, αλλά οι ρίζεςMihalis_Lambrou έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 1
Έστω ότι ηέχει ρίζες
.
Βρείτε την τριτοβάθμια εξίσωση που έχει ρίζες τις.
Με χρήση των αποτελέσμάτων σας δείξτε ότι η ικανή και αναγκαία συνθήκη η εξίσωσηνα έχει δύο ρίζες ίσες (δηλαδή μία διπλή) είναι
.
Σχόλιο: Το αποτέλεσμα αυτό είναι γνωστότατο και βρίσκεται σε όλα τα βιβλία με τίτλο Theory of Equations, και τα παρεμφερή. Την τοποθετώ εδώ γιατί οι μαθητές μας μπορεί να μην έχουν πρόσβαση στην βιβλιογραφία και γιατί οδηγώ σε διαφορετική απόδειξη από την συνηθισμένη στα βιβλία. Άλλωστε ήθελα να ξεκινήσω με μία κάπως απλή άσκηση. Αργότερα θα βάλω και δυσκολότερες.
Παρακαλώ να αφήσουμε τουλάχιστον την σημερινή ημέρα, Κυριακή 27/11/16, σε προσπάθειες των μαθητών μας.

It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.
If you are not sure it is magic then it probably is.
If you are not sure it is magic then it probably is.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 11536
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Θα μπορούσαν να είναι και φανταστικές αλλά δέχομαι λύση μόνο για πραγματικούς.JimNt. έγραψε: Μπορεί να είναι αυτονόητο, αλλά οι ρίζεςείναι όλες πραγματικές ή έχουμε και φανταστικούς αριθμούς;
Ας προσθέσω ότι οι τύποι Vieta ισχύουν και για μιγαδικές ρίζες (χωρίς αλλαγή στην απόδειξη) οπότε μπορείς άφοβα να ασχοληθείς με όποια περίπτωση νοιώθεις μεγαλύτερη οικειότητα.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 11536
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Νομίζω ότι μπορούμε τώρα να ανοίξουμε την άσκηση και για τα μεγάλα παιδιά.
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3923
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Καλησπέρα στους φίλουςMihalis_Lambrou έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 1
Έστω ότι ηέχει ρίζες
.
Βρείτε την τριτοβάθμια εξίσωση που έχει ρίζες τις.
Με χρήση των αποτελέσμάτων σας δείξτε ότι η ικανή και αναγκαία συνθήκη η εξίσωσηνα έχει δύο ρίζες ίσες (δηλαδή μία διπλή) είναι
.
Σχόλιο: Το αποτέλεσμα αυτό είναι γνωστότατο και βρίσκεται σε όλα τα βιβλία με τίτλο Theory of Equations, και τα παρεμφερή. Την τοποθετώ εδώ γιατί οι μαθητές μας μπορεί να μην έχουν πρόσβαση στην βιβλιογραφία και γιατί οδηγώ σε διαφορετική απόδειξη από την συνηθισμένη στα βιβλία. Άλλωστε ήθελα να ξεκινήσω με μία κάπως απλή άσκηση. Αργότερα θα βάλω και δυσκολότερες.
Παρακαλώ να αφήσουμε τουλάχιστον την σημερινή ημέρα, Κυριακή 27/11/16, σε προσπάθειες των μαθητών μας.
Για ευκολία ονομάζουμε τις συμμετρικές παραστάσεις των




Από τους τύπους Vieta παίρνουμε ότι

Επίσης λόγω της ταυτότητας


Θέτοντας:



και βάζοντας στην




Αν





Κάνοντας (πολύ απλές) πράξεις (με το χέρι) παίρνουμε:

![\begin{aligned}S_2' &= a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 = (ab+bc+ca)^2-2abc(a+b+c)\stackrel{a+b+c=0}{=}(ab+bc+ca)^2 \\ &= \left[3(r_1^2+r_2^2+r_3^2)+3p\right]^2=\left[3(S_1^2-2S_2)+3p\right]^2=9p^2 \ \ (2)\end{aligned} \begin{aligned}S_2' &= a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 = (ab+bc+ca)^2-2abc(a+b+c)\stackrel{a+b+c=0}{=}(ab+bc+ca)^2 \\ &= \left[3(r_1^2+r_2^2+r_3^2)+3p\right]^2=\left[3(S_1^2-2S_2)+3p\right]^2=9p^2 \ \ (2)\end{aligned}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/56fe98d5697d527f9ed5fa7258cc95e1.png)
![\begin{aligned}S_3' &= a^2b^2c^2=(ab)(bc)(ca)=-(3r_1^2+p)(3r_2^2+p)(3r_3^2+p) \\ &= -\left[27r_1^2r_2^2r_3^2+9p(r_1^2r_2^2+r_2^2r_3^2+r_3^2r_1^2)+3p^2(r_1^2+r_2^2+r_3^2)+p^3\right] \\ &= -\left[27S_3^2+9p(S_2^2-2S_1S_3)+3p^2(S_1^2-2S_2)+p^3\right)]=-\left(4p^3+27q^2\right)\end{aligned} \begin{aligned}S_3' &= a^2b^2c^2=(ab)(bc)(ca)=-(3r_1^2+p)(3r_2^2+p)(3r_3^2+p) \\ &= -\left[27r_1^2r_2^2r_3^2+9p(r_1^2r_2^2+r_2^2r_3^2+r_3^2r_1^2)+3p^2(r_1^2+r_2^2+r_3^2)+p^3\right] \\ &= -\left[27S_3^2+9p(S_2^2-2S_1S_3)+3p^2(S_1^2-2S_2)+p^3\right)]=-\left(4p^3+27q^2\right)\end{aligned}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/1c41774df4998c3891bb4d8dc6852aa9.png)
Άρα τελικά οι


Επιπλέον δύο εκ των





Ελπίζω να μην έκανα κάποιο λάθος στις πράξεις.
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 11536
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
ΑΣΚΗΣΗ 2
Έστω ότι η
έχει μη μηδενικές ρίζες
.
Βρείτε την τριτοβάθμια εξίσωση που έχει ρίζες τις
.
Με χρήση των αποτελεσμάτων σας δείξτε ότι η ικανή και αναγκαία συνθήκη η αρχική εξίσωση να έχει μία ρίζα ίση με το γινόμενο των άλλων δύο είναι
.
Σχόλιο: Η παραπάνω άσκηση μαζί και η προηγούμενη μας δίνει μία τεχνική να βρίσκουμε ικανές και αναγκαίες συνθήκες ώστε τα ισχύει κάποια ταυτότητα μεταξύ των ριζών. Ανάλογα με την περίπτωση, κατασκευάζουμε μία εξίσωση με κατάλληλες ρίζες.
Έστω ότι η


Βρείτε την τριτοβάθμια εξίσωση που έχει ρίζες τις

Με χρήση των αποτελεσμάτων σας δείξτε ότι η ικανή και αναγκαία συνθήκη η αρχική εξίσωση να έχει μία ρίζα ίση με το γινόμενο των άλλων δύο είναι

Σχόλιο: Η παραπάνω άσκηση μαζί και η προηγούμενη μας δίνει μία τεχνική να βρίσκουμε ικανές και αναγκαίες συνθήκες ώστε τα ισχύει κάποια ταυτότητα μεταξύ των ριζών. Ανάλογα με την περίπτωση, κατασκευάζουμε μία εξίσωση με κατάλληλες ρίζες.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 11536
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Δίνω μία διαφορετική λύση της Άσκησης 1, η οποία συγχρόνως υπονοεί μία ωραία τεχνική για τέτοιες ασκήσεις.Mihalis_Lambrou έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 1
Έστω ότι ηέχει ρίζες
.
Βρείτε την τριτοβάθμια εξίσωση που έχει ρίζες τις.
Με χρήση των αποτελέσμάτων σας δείξτε ότι η ικανή και αναγκαία συνθήκη η εξίσωσηνα έχει δύο ρίζες ίσες (δηλαδή μία διπλή) είναι
.
Θέτουμε







Θέτοντας αυτήν στην


Απλοποιώντας παίρνουμε

Αν αρχίζαμε με άλλη ρίζα στην θέση της



Για το δεύτερο μέρος, η υπόθεση λέει ότι η εξίσωση που βρήκαμε έχει ρίζα την


Φιλικά,
Μιχάλης
-
- Δημοσιεύσεις: 2681
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Άσκηση 3
Έστω
ακέραιοι.
Θέτουμε
και
1)Για
να δειχθεί ότι το
είναι ανάγωγο στο ![\mathbb{Z}[x] \mathbb{Z}[x]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/3488c589add2af2c7b28970f948e3f96.png)
2))Για
να δειχθεί ότι το
είναι ανάγωγο στο ![\mathbb{Z}[x] \mathbb{Z}[x]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/3488c589add2af2c7b28970f948e3f96.png)
Υπενθυμίζω.
Το πολυώνυμο
με ακέραιους συντελεστές είναι ανάγωγο στο ![\mathbb{Z}[x] \mathbb{Z}[x]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/3488c589add2af2c7b28970f948e3f96.png)
όταν δεν μπορεί να γραφεί στην μορφή
με
πολυώνυμα με ακέραιους συντελεστές
που ο βαθμός τους είναι τουλάχιστον
Έστω

Θέτουμε

και

1)Για


![\mathbb{Z}[x] \mathbb{Z}[x]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/3488c589add2af2c7b28970f948e3f96.png)
2))Για


![\mathbb{Z}[x] \mathbb{Z}[x]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/3488c589add2af2c7b28970f948e3f96.png)
Υπενθυμίζω.
Το πολυώνυμο

![\mathbb{Z}[x] \mathbb{Z}[x]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/3488c589add2af2c7b28970f948e3f96.png)
όταν δεν μπορεί να γραφεί στην μορφή


που ο βαθμός τους είναι τουλάχιστον

-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 11536
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Ενδιαφέρον. Όμως μάλλον πολύ δύσκολο θέμα (ιδίως το δεύτερο ερώτημα) γι αυτό το θρεντ, που το προόριζα για πιο απλές ασκήσεις από ότι οι Ολυμπιάδες. Για εδώ θέλουμε ασκήσεις που ναι με θέλουν κάποια δουλειά, αλλά όχι βαριά τεχνάσματα.ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Άσκηση 3
Έστωακέραιοι.
Θέτουμε
και
1)Γιανα δειχθεί ότι το
είναι ανάγωγο στο
2))Γιανα δειχθεί ότι το
είναι ανάγωγο στο
α) Έστω ότι υπάρχουν πολυώνυμα






που σημαίνει ότι τα



Άρα το (μη μηδενικό) πολυώνυμο




β) Πρώτα από όλα το



Για




οπότε τα



Άρα το






Είναι δηλαδή

Άρα

Ειδικά οι ρίζες των





Αλλά τότε για τις







-
- Δημοσιεύσεις: 2681
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Μιχάλη τις θεώρησα απλές για αυτό τις έβαλα.
Αυτές και κάποιες άλλες (δύσκολες) τις ξέρω από τότε που ήμουν μαθητής Λυκείου.
Για την 2) υπάρχει και διαφορετικό τελείωμα.
Εχουμε
Αν θέσουμε
τότε το αριστερό μέλος είναι αρνητικό και κατά απόλυτη τιμή μεγαλύτερο
από
που μας δίνει το ΑΤΟΠΟ.
Αυτές και κάποιες άλλες (δύσκολες) τις ξέρω από τότε που ήμουν μαθητής Λυκείου.
Για την 2) υπάρχει και διαφορετικό τελείωμα.
Εχουμε

Αν θέσουμε

από

που μας δίνει το ΑΤΟΠΟ.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 664
- Εγγραφή: Πέμ Ιουν 25, 2009 5:00 pm
- Τοποθεσία: Σπάρτη
- Επικοινωνία:
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
ΑΣΚΗΣΗ 4
Θεωρούμε το πολυώνυμο
με ακέραιους συντελεστές,
για το οποίο δίνεται ότι
.
Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει ακέραιος
ώστε
.
Θεωρούμε το πολυώνυμο

για το οποίο δίνεται ότι

Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει ακέραιος


Στράτης Αντωνέας
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 11536
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Μας αρκούν πολύ λιγότερες υποθέσεις. Π.χ. μόνο μεstranton έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 4
Θεωρούμε το πολυώνυμομε ακέραιους συντελεστές,
για το οποίο δίνεται ότι.
Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει ακέραιοςώστε
.

ή μόνο

Από υπόθεση το




Αν






-
- Δημοσιεύσεις: 133
- Εγγραφή: Δευ Φεβ 04, 2013 8:24 pm
- Τοποθεσία: Αθηνα
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
ΑΣΚΗΣΗ 5
Καλησπέρα, προτείνω το παρακάτω:
Να βρεθούν όλα τα μη-σταθερά πραγματικά πολυώνυμα
ώστε για κάθε
ισχύει:

Καλησπέρα, προτείνω το παρακάτω:
Να βρεθούν όλα τα μη-σταθερά πραγματικά πολυώνυμα



-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 11536
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Μία λύση είναι η προφανής,panagiotis99 έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 5
Να βρεθούν όλα τα μη-σταθερά πραγματικά πολυώνυμαώστε για κάθε
ισχύει:

Γράφουμε

Θέτωντας






Από την δοθείσα έχουμε για κάθε

![\displaystyle{ \sum _{k=1}^n a_k \left [(\sin x+\cos x)^k - \sin ^k x - \cos ^k x \right ]=0} \displaystyle{ \sum _{k=1}^n a_k \left [(\sin x+\cos x)^k - \sin ^k x - \cos ^k x \right ]=0}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/ffcb6a3ea6bed37be60b79a7d5b244db.png)
Παρατηρούμε ότι ο όρος για

![\displaystyle{ \sum _{k=2}^n a_k \left [(\sin x+\cos x)^k - \sin ^k x - \cos ^k x \right ]=0} \, (*) \displaystyle{ \sum _{k=2}^n a_k \left [(\sin x+\cos x)^k - \sin ^k x - \cos ^k x \right ]=0} \, (*)](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/8028242ec20751ff4277bb3e064727b6.png)

Θέτουμε τώρα

Για τυπογραφική ευκολία θα συμβολίζω τα








ενώ για τον γενικό όρο




Τελικά, ως προς τα πολυώνυμα



Επειδή η ισότητα αυτή ισχύει για άπειρα


Σχόλιο: Η άσκηση μάλλον ξεφεύγει από τους στόχους που είχα κατά νου γι' αυτό το θρεντ ως δύσκολη, εκτός αν δεν βλέπω κάτι.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 664
- Εγγραφή: Πέμ Ιουν 25, 2009 5:00 pm
- Τοποθεσία: Σπάρτη
- Επικοινωνία:
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
ΑΣΚΗΣΗ 6
Έστω
πολυώνυμο βαθμού
, για το οποίο δίνεται ότι
για
.
Να βρείτε το
.
Έστω




Να βρείτε το

Στράτης Αντωνέας
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 11536
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Ακόμα καλύτερα μπορούμε να βρούμε το ίδιο το πολυώνυμο:stranton έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 6
Έστωπολυώνυμο βαθμού
, για το οποίο δίνεται ότι
για
.
Να βρείτε το.
Από την υπόθεση έπεται ότι το πολυώνυμο





Θέτωντας



Ας παρατηρήσουμε ότι ο σταθερός όρος της παράστασης μέσα στην μεγάλη παρένθεση είναι μηδέν, οπότε μετά την απλοποίηση του παρονομαστή

Τέλος

-
- Δημοσιεύσεις: 3
- Εγγραφή: Τετ Νοέμ 30, 2011 10:19 pm
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Αν το πολυώνυμο
δεν έχει ρίζες και ισχύει ότι
, να βρεθεί το πρόσημο του
.



Βλαχοβασίλης Βασίλειος
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3923
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
ΑρχικάVASILIS_VLH έγραψε:Αν το πολυώνυμοδεν έχει ρίζες και ισχύει ότι
, να βρεθεί το πρόσημο του
.


Η δοσμένη σχέση


Αν ήταν



![[0,1] [0,1]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/ccfcd347d0bf65dc77afe01a3306a96b.png)


Άρα

Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 11536
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Επαναφέρω την ΑΣΚΗΣΗ 2.
Επίσης
Επίσης
Ας την ονομάσουμε ΑΣΚΗΣΗ 7, για να έχουν ρέουσα αρίθμηση.VASILIS_VLH έγραψε:Αν το πολυώνυμοδεν έχει ρίζες και ισχύει ότι
, να βρεθεί το πρόσημο του
.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης