Λιγότεροι φυσικοί για γινόμενο

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 743
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Λιγότεροι φυσικοί για γινόμενο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τετ Οκτ 10, 2018 3:05 pm

Για ποιό ελάχιστο φυσικό αριθμό n θα βρεθούν n διαφορετικοί φυσικοί \displaystyle s_{1}, s_{2}, ..., s_{n} τέτοιοι, ώστε

\displaystyle \left ( 1-\dfrac{1}{s_{1}} \right )\left ( 1-\dfrac{1}{s_{2}} \right ) ... \left ( 1-\dfrac{1}{s_{n}} \right )=\dfrac{7}{66} ;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7860
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Λιγότεροι φυσικοί για γινόμενο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Οκτ 10, 2018 3:50 pm

Προσοχή! Σε αυτήν την ανάρτηση λύνω το πρόβλημα για όχι απαραίτητα διαφορετικούς φυσικούς. Για διαφορετικούς φυσικούς δείτε την επόμενη ανάρτηση.

Για n=5 γίνεται παίρνοντας s_1=s_2=s_3=2,s_4=8,s_5=33.

Για n \leqslant 4 δεν γίνεται. Ας υποθέσουμε ότι t από τα s_i ισούνται με 2. Τουλάχιστον ένα από τα s_i πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 11 αφού 7s_1\cdots s_n = 66(s_1-1) \cdots (s_n-1). Όλα τα υπόλοιπα s_i (το πολύ 3-t) είναι μεγαλύτερα ή ίσα του 3. Τότε όμως είναι

\displaystyle  \left(1 - \frac{1}{s_1}\right) \cdots \left(1 - \frac{1}{s_n}\right) \geqslant \frac{1}{2^t} \frac{10}{11} \left(\frac{2}{3}\right)^{3-t} = \frac{80}{297}\left(\frac{3}{4}\right)^t

Για t \leqslant 2 παίρνουμε

\displaystyle \left(1 - \frac{1}{s_1}\right) \cdots \left(1 - \frac{1}{s_n}\right)\geqslant \frac{5}{33} > \frac{7}{66},

άτοπο. Άρα t = 3. Έστω s_2 = s_3 = s_4 = 2. Τότε θα θέλαμε \displaystyle  1 - \frac{1}{s_1} = \frac{8 \cdot 7}{66} = \frac{28}{33}, άτοπο.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7860
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Λιγότεροι φυσικοί για γινόμενο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Οκτ 10, 2018 5:39 pm

Δεν πρόσεξα ότι το πρόβλημα ζητούσε διαφορετικούς φυσικούς. Η σωστή απάντηση είναι n=9 και λαμβάνεται για n_1=2,n_2=3,\ldots,n_8=9 και n_9 = 22.

Δεν μπορούμε με λιγότερους διότι τότε

\displaystyle  \left(1-\frac{1}{s_1}\right) \cdots \left(1-\frac{1}{s_n}\right) \geqslant \left(1-\frac{1}{2}\right) \cdots \left(1-\frac{1}{9}\right) = \frac{1}{9} > \frac{7}{66}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης