Δεκαδικό ανάπτυγμα

#1

Αν γράψουμε $(3-2\sqrt 2)^4=a,bcd...$ (δεκαδικό ανάπτυγμα), πόσο είναι το

;

Ας την αφήσουμε

ώρες στα παιδιά.

#2

Παρατηρώ ότι $\displaystyle 3-2\sqrt{2} = \frac{1}{3+2\sqrt{2}}.$ Είναι $(3+2\sqrt{2})^2 = 17+12\sqrt{2}$ και

$\displaystyle \displaystyle{(3+2\sqrt{2})^4 = 289+288+408\sqrt{2} = 577 + 408\sqrt{2} > 577 + 408 \cdot \frac{14}{10} > 577 + 400 \cdot \frac{14}{10} = 577 + 560 > 1000}$

Άρα $\displaystyle (3-2\sqrt{2})^4 < \frac{1}{1000}$ οπότε είναι d=0

.

$\rule{500pt}{0.5pt}$

Διαφορετικά: Παρατηρώ ότι τα $3\pm 2\sqrt{2}$ είναι ρίζες της x^2-6x+1=0

. Οπότε το $a_n = (3+2\sqrt{2})^n + (3-2\sqrt{2})^n$ ικανοποιεί την αναδρομική σχέση $a_{n+2} = 6a_{n+1} - a_n$ με αρχικούς όρους a_0 = 2

και

. Από την αναδρομική σχέση έχουμε a_2=34,a_3=198

και

. Αν όμως θέσω $x = (3-2\sqrt{2})^4$ τότε a_4 = x + 1/x = 1154

και επειδή x < 1

είναι

και άρα

. Οπότε είναι d=0

.

#3

Παραλλαγή:

$\displaystyle{3-2\sqrt 2 < 3-2\times \dfrac {1414}{1000}= \frac {3000-2828}{1000}= \dfrac {172}{1000} < \dfrac {7\times 25}{1000} = \dfrac {7}{40}}$ .

Άρα

$\displaystyle{(3-2\sqrt 2)^4 < \left (\dfrac {7}{4}\right )^4\times 10^{-4}= \dfrac {2401}{256} \times 10^{-4}< 10 \times 10^{-4}= 10^{-3}}$

που σημαίνει ότι το ακέραιο μέρος και τα τρία πρώτα δεκαδικά ψηφία είναι

.

(Έλεγχος με κομπιουτεράκι $\displaystyle{ (3-2\sqrt 2)^4= 0,0008665517}$ )

Δεκαδικό ανάπτυγμα

Δεκαδικό ανάπτυγμα

Re: Δεκαδικό ανάπτυγμα

Re: Δεκαδικό ανάπτυγμα

Μέλη σε σύνδεση