Γνωστό "σύστημα"

KARKAR · #1

Ένα μάλλον γνωστό θέμα : Αν : x^3-3x^2+5x=1

και

, βρείτε το x+y

.

Υποθέτω ότι επιδέχεται διάφορες προσεγγίσεις ...

#2

KARKAR έγραψε: Παρ Απρ 12, 2019 8:21 pm Ένα μάλλον γνωστό θέμα : Αν :

και , βρείτε το .

H καθεμία έχει μοναδική πραγματική ρίζα όπως φαίνεται από Rolle (για παράδειγμα η δεύτερη έχει παράγωγο 3y^2 -6y+5

που δεν έχει ρίζες αφού έχει αρνητική διακρίνουσα). Θέτοντας x=2-t

στην πρώτη, δίνει μετά από τις απλές πράξεις την εξίσωση t^3-3t^2+5t=5

. Την αναγνωρίζουμε ως την δεύτερη εξίσωση! Άρα x=2-t=y

, από όπου x+y=2

.

#3

KARKAR έγραψε: Παρ Απρ 12, 2019 8:21 pm Ένα μάλλον γνωστό θέμα : Αν :

και , βρείτε το .

Υποθέτω ότι επιδέχεται διάφορες προσεγγίσεις ...

Ναι, υπάρχουν πολλές λύσεις. Άλλη μία: Προσθέτουμε κατά μέλη. Με χρήση της ταυτότητας x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)

εύκολα την παραγοντοποιούμε ως

(x+y-2)(x^2+y^2-xy-x-y+3)=0

.

Η δεύτερη παρένθεση είναι γνήσια θετική αφού γράφεται $\left (x-\frac {1}{2}(y+1)\right )^2+\frac {3}{4}(y-1)^2 +3 \ge 3$ . Άρα x+y-2=0

.