Ελάχιστη τιμή

Al.Koutsouridis · #1

Για

να βρείτε την ελάχιστη τιμή της έκφρασης

$\dfrac{|2a-b +2a(b-a)| + |b+2a-a(b+4a)|}{\sqrt{4a^2+b^2}}$ .

(Για Γ' Λυκείου)

#2

Έστω $\displaystyle r = \frac{|2a-b+2a(b-a)|}{\sqrt{4a^2+b^2}}$ και $\displaystyle s = \frac{|b+2a-a(b+4a)|}{\sqrt{4a^2+b^2}}$

Παρατηρούμε ότι τα

και

είναι οι αποστάσεις του (1,1)

από τις ευθείες 2ax-by = 2a(a-b)

και

. Οι δυο ευθείες είναι κάθετες μεταξύ τους αφού έχουν κλίσεις 2a/b

και

αντίστοιχα. Παρατηρούμε επίσης ότι τέμνονται στο (a,2a)

.

Επομένως από Πυθαγόρειο έχουμε $r^2+s^2 = (a-1)^2 + (2a-1)^2 = 5a^2 - 6a+2 = 5(a-\frac{3}{5})^2 + \frac{1}{5} \geqslant \frac{1}{5}$ .

Άρα και $r+s \geqslant \sqrt{r^2+s^2} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ . Η ισότητα επιτυγχάνεται αν και μόνο αν rs = 0

και

. Η περίπτωση r=0

δίνει

που απορρίπτεται. Η περίπτωση s=0

δίνει

που επιτρέπεται και επιτυγχάνει το $\sqrt{5}/5$ ως ελάχιστη τιμή.

Ελάχιστη τιμή

Ελάχιστη τιμή

Re: Ελάχιστη τιμή

Μέλη σε σύνδεση