Εύρεση συναρτήσεων

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

#2

orestisgotsis έγραψε: Τετ Σεπ 06, 2023 9:32 pm Βρείτε τις συναρτήσεις $f(x),\,\,g(x)$ τέτοιες ώστε:

$f(x) = {e^x}\sin x + \displaystyle\int_0^\pi {ug(u)\,du} \,\,\,$ και $\,\,\,g(x) = {e^x}\cos x +\displaystyle \int_0^\pi {uf(u)\,du}$

Χωρίς κάποιες επίπονες πράξεις ρουτίνας, ιδίως στο τέλος. Έτσι και αλλιώς οι πράξεις είναι πολλές μέχρι εκεί.

Οι υποθέσεις είναι $f(x) = {e^x}\sin x + a,\,\,g(x) = {e^x}\cos x +b \, (*)$ όπου a, b

σταθερές, συγκεκριμένα

$a= \int_0^\pi {ug(u)\,du} ,\,\,b = \int_0^\pi {uf(u)\,du}$

Πολλαπλασιάζουμε τις (*)

επί

και ολοκληρώνουμε. Θα βρούμε (κάνοντας και κάποιες ολοκληρώσεις κατά παράγοντες)

$b =\int _0^{\pi} x {e^x}\sin x dx + \int _0^{\pi} axdx= \frac {1}{2}e^{\pi} (\pi-1) - \frac {1}{2}+ \frac {1}{2} \pi ^2 a$ και

$a =\int _0^{\pi} x {e^x}\cos x dx + \int _0^{\pi} bxdx= -\frac {1}{2}e^{\pi} \pi +\frac {1}{2} \pi ^2 b$

Οι δύο τελευταίες είναι ένα γραμμικό σύστημα ως προς a,b

. Το λύνουμε και βάζουμε τις τιμές αυτές στην (*)

. Τελειώσαμε. Στο τέλος ελέγχουμε οτι οι συναρτήσεις ικανοποιούν τις συνθήκες, αν και η διαδικασία δείχνει ότι ο έλεγχος εδώ περιττεύει.

Εύρεση συναρτήσεων

Εύρεση συναρτήσεων

Re: Εύρεση συναρτήσεων

Μέλη σε σύνδεση