Ξεπεράστε τον Euler

KARKAR · #1

Αν οι :

, είναι τρεις μη μηδενικοί πραγματικοί , με :

a+b+c=0

, δείξτε ότι : $\dfrac{a^7+b^7+c^7}{a^4+b^4+c^4}=\dfrac{7}{2}abc$

Tolaso J Kos · #2

KARKAR έγραψε: Τετ Δεκ 11, 2024 9:52 am Αν οι : , είναι τρεις μη μηδενικοί πραγματικοί , με :

, δείξτε ότι : $\dfrac{a^7+b^7+c^7}{a^4+b^4+c^4}=\dfrac{7}{2}abc$

Επειδή

είναι:

$\displaystyle{\left(a+b+c \right)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2 (ab + bc + ca)}$
Οπότε,

$\displaystyle{a^2 + b^2 + c^2 = \cancelto{0}{\left( a + b +c \right)^2} - 2 \left( a b + bc + ca \right) = -2 \left( ab + bc + ca \right)}$
Υψώνοντας εις το τετράγωνο έχουμε:

$\displaystyle{\left(a^2 + b^2 + c^2 \right)^2 = 4(a^2 b^2 + b^2 c^2 + c^2 a^2 + 2(ab^2 c + bc^2 a + ca^2 b)) }$
Απλοποιώντας και χρησιμοποιώντας τη συνθήκη a+b+c=0

, έχουμε

$\displaystyle{\boxed{a^4 + b^4 + c^4 = 2 \left( a^2 b^2 + b^2 c^2 + c^2 a^2 \right)}}$

Από το θέμα εδώ έχουμε:

$\displaystyle{\frac{a^7+b^7+c^7}{7}=\frac{a^5+b^5+c^5}{5}\cdot \frac{a^2+b^2+c^2}{2}}$

Από το ίδιο θέμα είναι $2 \left (a^5 + b^5 + c^5 \right ) = 5abc \left (a^2 + b^2 +c^2 \right )$ . Άρα,

$\displaystyle{\begin{aligned} a^7 + b^7 + c^7 &= \frac{7}{4} abc \left( a^2 + b^2 + c^2 \right)^2 \\ & = \frac{7}{4} abc \left[ a^4 + b^4 + c^4 + 2\left( a^2 b^2 + b^2 c^2 + c^2 a^2 \right) \right] \\ & = \frac{7}{4} abc \left( a^4 + b^4 + c^4 + a^4 + b^4 + c^4 \right) \\ & = \frac{7}{2} abc \left( a^4 + b^4 + c^4 \right) \end{aligned}}$
Το αποτέλεσμα έπεται.

Δε θεωρώ τη λύση αυτοτελή γιατί στηρίζεται σε δύο ισότητες που ήδη έχουμε δει και απλά τις κάνω χρήση.

#3

KARKAR έγραψε: Τετ Δεκ 11, 2024 9:52 am Αν οι : , είναι τρεις μη μηδενικοί πραγματικοί , με :

, δείξτε ότι : $\dfrac{a^7+b^7+c^7}{a^4+b^4+c^4}=\dfrac{7}{2}abc$

Όπως έγραψε κι ο Τόλης εύκολα βρίσκουμε $\boxed{a^4+b^4+c^4=2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}$ (1)

θα χρησιμοποιήσω επίσης την ισότητα a^3+b^3+c^3=3abc.

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} {a^4}({a^3} + {b^3} + {c^3}) = {a^7} + {a^4}{b^3} + {a^4}{c^3} \hfill \\ {b^4}({a^3} + {b^3} + {c^3}) = {b^7} + {b^4}{a^3} + {b^4}{c^3} \hfill \\ {c^4}({a^3} + {b^3} + {c^3}) = {c^7} + {c^4}{b^3} + {c^4}{a^3} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και με πρόσθεση κατά μέλη

$\displaystyle ({a^4} + {b^4} + {c^4})3abc = {a^7} + {b^7} + {c^7} + {a^3}{b^3}(a + b) + {b^3}{c^3}(b + c) + {a^3}{c^3}(a + c) \Leftrightarrow$

$\displaystyle ({a^4} + {b^4} + {c^4})3abc = {a^7} + {b^7} + {c^7} - {a^3}{b^3}c - a{b^3}{c^3} - b{a^3}{c^3} \Leftrightarrow$

$\displaystyle ({a^4} + {b^4} + {c^4})3abc = {a^7} + {b^7} + {c^7} - abc({a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2})$ και από την (1)

$\displaystyle ({a^4} + {b^4} + {c^4})3abc = {a^7} + {b^7} + {c^7} - \frac{{abc}}{2}({a^4} + {b^4} + {c^4}) \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{{a^7} + {b^7} + {c^7}}}{{{a^4} + {b^4} + {c^4}}} = \frac{7}{2}abc}$

KARKAR · #4

Μια απλούστερη ταυτότητα ( και πιο όμορφη ! ) , είναι η εξής :

Αν οι : a, b , c

, είναι τρεις μη μηδενικοί πραγματικοί , με :

a+b+c=0

, δείξτε ότι : $\dfrac{a^5+b^5+c^5}{a^2+b^2+c^2}=\dfrac{5}{2}abc$

Tolaso J Kos · #5

KARKAR έγραψε: Τετ Δεκ 11, 2024 9:23 pm Μια απλούστερη ταυτότητα ( και πιο όμορφη ! ) , είναι η εξής :

Αν οι : , είναι τρεις μη μηδενικοί πραγματικοί , με :

, δείξτε ότι : $\dfrac{a^5+b^5+c^5}{a^2+b^2+c^2}=\dfrac{5}{2}abc$

Έχουμε διαδοχικά:

$\displaystyle{\begin{aligned} a^5 + b^5 + c^5 &= \left( a+ b + c \right) \left( a^4 + b^4 + c^4 \right) - \\ & \quad \quad \quad - \left( ab + bc + ca \right) \left( a^3 + b^3 + c^3 \right) + abc \left( a^2 + b^2 + c^2 \right) \\ & = - 3abc \left( ab + bc + ca \right) + abc \left( a^2 + b^2 + c^2 \right) \\ & = abc \left[ a^2 + b^2 + c^2 -3 \left( ab + bc + ca \right) \right] \\ & = abc \left[ a^2 + b^2 + c^2 + \frac{3}{2} \left( a^2 + b^2 + c^2 \right) \right] \\ & = \frac{5}{2} abc \left( a^2 + b^2 + c^2 \right) \end{aligned}}$
Υ.Σ: Πάντως, από το θέμα εδώ για m=3

και

προκύπτει:

$\displaystyle{\frac{a^{5}+b^{5}+c^{5}}{5}=\frac{(a^3+b^3+c^3)}{3} \cdot \frac{(a^2+b^2+c^2)}{2}}$
και το αποτέλεσμα έπεται άμεσα.

KARKAR · #6

Αφορμή για την δημιουργία του θέματος , ήταν η άσκηση Άλγεβρας

, από εδώ . Σπουδαίοι

Ξεπεράστε τον Euler

Ξεπεράστε τον Euler

Re: Ξεπεράστε τον Euler

Re: Ξεπεράστε τον Euler

Re: Ξεπεράστε τον Euler

Re: Ξεπεράστε τον Euler

Re: Ξεπεράστε τον Euler

Μέλη σε σύνδεση