Υπερ - Μενέλαος

KARKAR · #1

: Υπερ-Μενέλαος.png (11.24 KiB) Προβλήθηκε 1073 φορές

Στην πλευρά

τριγώνου $\displaystyle ABC$ , επιλέγουμει σημείο

, ώστε : $\dfrac{AP}{AB}=\dfrac{2}{3}$ .

Αν

το μέσο της διαμέσου

και $Q\equiv PS \cap AC$ , βρείτε το λόγο : $\dfrac{AQ}{AC}$

nikkru · #2

KARKAR έγραψε:Υπερ-Μενέλαος.pngΣτην πλευρά τριγώνου $\displaystyle ABC$ , επιλέγουμε σημείο , ώστε : $\dfrac{AP}{AB}=\dfrac{2}{3}$ .

Αν το μέσο της διαμέσου και $Q\equiv PS \cap AC$ , βρείτε το λόγο : $\dfrac{AQ}{AC}$

Από το

και από τα μέσα H,L

των τμημάτων AS,SM

φέρνουμε παράλληλες προς την

.

Τα πέντε τμήματα που χωρίστηκε η

είναι ίσα, οπότε $\displaystyle{\dfrac{AQ}{AC}=\frac{2}{5}}$ .

harrisp · #3

Διαφορετικά (αν δεν κανω κάποιο λαθος) μπορούμε να κάνουμε δυο φορές Μενελαο στα ABM, AMC

με διατεμνουσα την PR,QR

αντίστοιχα οπου

το σημειο τομής της

με την

.

KARKAR · #4

Ωραία ! Ας γενικεύσουμε λοιπόν :

: Υπερ-Μενέλαος B.png (10.8 KiB) Προβλήθηκε 1029 φορές

Αν : $\dfrac{AP}{AB}=m ,\dfrac{AQ}{AC}=n$ , δείξτε ότι : $\dfrac{AS}{AM}=\dfrac{2mn}{m+n}$ ( αρμονικός μέσος ) !

#5

KARKAR έγραψε:Ωραία ! Ας γενικεύσουμε λοιπόν :

Υπερ-Μενέλαος B.png Αν : $\dfrac{AP}{AB}=m ,\dfrac{AQ}{AC}=n$ , δείξτε ότι : $\dfrac{AS}{AM}=\dfrac{2mn}{m+n}$ ( αρμονικός μέσος ) !

Υπάρχει απλή λύση χωρίς Θεώρημα Μενελάου.

: Υπερ_Μενέαλος_new.png (17.66 KiB) Προβλήθηκε 987 φορές

Από τα

φέρνω παράλληλες στη

που τέμνουν την

στα

.

Προφανώς KM = ML

και θέτω $\boxed{KM = ML = u}$ . Ισχύει

$\dfrac{{AS}}{{AK}} = m\,\,\,,\,\,\,\dfrac{{AS}}{{AL}} = n \Rightarrow \dfrac{{AL}}{{AK}} = \dfrac{m}{n} \Rightarrow \dfrac{{AM + u}}{{AM - u}} = \dfrac{m}{n}$ και άρα $\boxed{\frac{{AM + u}}{{AM}} = \frac{{2m}}{{m + n}}}\,\,\,(1)$

Αλλά $\boxed{\frac{{AS}}{{AM + u}} = n}\,\,\,(2)$ πολλαπλασιάζω κατά μέλη τις δύο προηγούμενες κι έχω

$\boxed{\frac{{AS}}{{AM}} = \frac{{2mn}}{{m + n}}}$

#6

KARKAR έγραψε:Ωραία ! Ας γενικεύσουμε λοιπόν :

Υπερ-Μενέλαος B.png Αν : $\dfrac{AP}{AB}=m ,\dfrac{AQ}{AC}=n$ , δείξτε ότι : $\dfrac{AS}{AM}=\dfrac{2mn}{m+n}$ ( αρμονικός μέσος ) !

Στο σχήμα του Θανάση.
$\displaystyle{\frac{{(APQ)}}{{(ABC)}} = \frac{{AP \cdot AQ}}{{bc}} = mn \Leftrightarrow \frac{{(APS)}}{{(ABM)}} + \frac{{(ASQ)}}{{(AMC)}} = 2mn \Leftrightarrow \frac{{AP \cdot AS}}{{c \cdot AM}} + \frac{{AS \cdot AQ}}{{b \cdot AM}} = 2mn \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{(m + n)\frac{{AS}}{{AM}} = 2mn \Leftrightarrow }$ $\boxed{\frac{{AS}}{{AM}} = \frac{{2mn}}{{m + n}}}$

Υπερ - Μενέλαος

Υπερ - Μενέλαος

Re: Υπερ - Μενέλαος

Re: Υπερ - Μενέλαος

Re: Υπερ - Μενέλαος

Re: Υπερ - Μενέλαος

Re: Υπερ - Μενέλαος

Μέλη σε σύνδεση