Ισεμβαδικότητα σε τρίγωνο

sakis1963 · #1

: GEOMETRIA192B.png (41.18 KiB) Προβλήθηκε 1080 φορές

Εστω τρίγωνο ABC

,

τυχαίο σημείο της βάσης του

και

το μέσον της.

Ο περίκυκλος APM

τέμνει τον περίκυκλο ABC

στο

.

Aν οι παράλληλες δια των B, C

προς τις

αντίστοιχα, τέμνουν την

στα

αντίστοιχα,

δείξτε οτι : (PST)=2(ABC)

#2

Δια των σημείων $S,\ T$ , φέρνουμε τις παράλληλες ευθείες προς την

, οι οποίες τέμνουν την ευθεία

στα σημεία $D,\ E$ , αντιστοίχως.

Ισχύει, $(PST) = (SAP) + (TAP) = (DAP) + (EAP) = (ADE)\ \ \ ,(1)$

Σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα, έχουμε $ZB\parallel AP\ \ \ ,(2)$ όπου

είναι το μέσον του

.

Από $SD\parallel ZB\parallel AP$ τώρα και ZA = ZS

προκύπτει $\boxed{BD = BP}\ \ \ ,(3)$ και ομοίως αποδεικνύεται ότι $\boxed{EC = CP}\ \ \ ,(4)$

Από $(3), (4)\Rightarrow$ $DE = 2BC\ \ \ ,(5)$

Από $(5)\Rightarrow$ $(ADE) = 2(ABC)\ \ \ ,(6)$

Από $(1),\ (6)\Rightarrow$ $\boxed{(PST) = 2(ABC)}$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

: Ισεμβαδικότητα σε τρίγωνο.; f=178_t=59738.png (28.35 KiB) Προβλήθηκε 988 φορές

ΛΗΜΜΑ. - Δίνεται τραπέζιο με $AB\parallel CD$ και έστω $M,\ N$ , τα μέσα των $BC,\ AD$ , αντιστοίχως. O περίκυκλος έστω του τριγώνου $\vartriangle ABC$ , επανατέμνει την στο σημείο και ο περίκυκλος έστω του τριγώνου $\vartriangle MAE$ , επανατέμνει την στο σημείο . Αποδείξτε ότι $CN\parallel AZ$ .

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Θα βάλω αργότερα την απόδειξη που έχω υπόψη μου για το ως άνω Λήμμα.

#3

vittasko έγραψε: Πέμ Σεπ 14, 2017 9:41 pmΛΗΜΜΑ. - Δίνεται τραπέζιο με $AB\parallel CD$ και έστω $M,\ N$ , τα μέσα των $BC,\ AD$ , αντιστοίχως. O περίκυκλος έστω του τριγώνου $\vartriangle ABC$ , επανατέμνει την στο σημείο και ο περίκυκλος έστω του τριγώνου $\vartriangle MAE$ , επανατέμνει την στο σημείο . Αποδείξτε ότι $NC\parallel AZ$ .

: Ισεμβαδικότητα σε τρίγωνο - Απόδειξη του Λήμματος.; f=178_t=59738(a).png (28.07 KiB) Προβλήθηκε 966 φορές

Από το εγγράψιμο τετράπλευρο ABCE

και $MN\parallel AB$ έχουμε $\angle CEN = \angle ABC = \angle NMC\ \ \ ,(1)$

Από (1)

προκύπτει ότι το τετράπλευρο EMCN

είναι εγγράωιμο και άρα, ισχύει $\angle CND = \angle ZME\ \ \ ,(2)$

Από (2)

και $\angle ZME = \angle ZAE$ , λόγω του εγγραψίμου τετραπλεύρου AMZE

, προκύπτει $\angle CND = \angle ZAE\ \ \ ,(3)$

Από $(3)\Rightarrow$ $\boxed{NC\parallel AZ}$ και το Λήμμα έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

Ισεμβαδικότητα σε τρίγωνο

Ισεμβαδικότητα σε τρίγωνο

Re: Ισεμβαδικότητα σε τρίγωνο

Re: Ισεμβαδικότητα σε τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση